Matemáticas
¿Qué son las caras, las aristas y los vértices de un cuerpo geométrico y cómo se cuentan?
Respuesta rápida
Las caras son las superficies planas de un cuerpo geométrico, las aristas son las líneas donde se unen dos caras y los vértices son las esquinas. Un cubo tiene 6 caras, 12 aristas y 8 vértices.
En una frase
Una cara es una superficie plana de un cuerpo geométrico, una arista es la línea donde se juntan dos caras y un vértice es la esquina donde se juntan las aristas.
Explicación
Coge un dado o una caja de cartón. Los lados planos donde puedes apoyar la mano son las caras. Pasa el dedo por el borde donde se juntan dos caras: eso es una arista. Para en una esquina puntiaguda: eso es un vértice.
caja
tienda de campaña
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Las caras de un poliedro son figuras planas: las del cubo son cuadrados, y el prisma triangular tiene 2 triángulos y 3 rectángulos. Si abres el cuerpo, ves todas las caras a la vez en su desarrollo plano.
| Cuerpo | Caras | Aristas | Vértices |
|---|---|---|---|
| Cubo | 6 | 12 | 8 |
| Ortoedro (prisma rectangular) | 6 | 12 | 8 |
| Prisma triangular | 5 | 9 | 6 |
| Prisma pentagonal | 7 | 15 | 10 |
| Prisma hexagonal | 8 | 18 | 12 |
| Pirámide triangular (tetraedro) | 4 | 6 | 4 |
| Pirámide cuadrangular | 5 | 8 | 5 |
| Cilindro | 3 (2 planas, 1 curva) | 2 | 0 |
| Cono | 2 (1 plana, 1 curva) | 1 | 1 |
| Esfera | 1 curva | 0 | 0 |
No hace falta memorizar la tabla: los prismas y las pirámides siguen un patrón. Si la base tiene n lados:
- Prisma: caras = n + 2, aristas = 3n, vértices = 2n. (Dos bases y n rectángulos; n aristas en cada base y n que las unen.)
- Pirámide: caras = n + 1, aristas = 2n, vértices = n + 1. (Una base y n triángulos; n aristas en la base y n que suben hasta la cúspide.)
Para cualquier cuerpo de caras planas y sin agujeros (un poliedro) hay una comprobación famosa, la fórmula de Euler:
C + V − A = 2 (caras + vértices − aristas = 2)
En el cubo: 6 + 8 − 12 = 2. Si al contar no te sale 2, se te ha escapado algo.
Los cuerpos redondos (cilindro, cono y esfera) son más delicados, y no todos los libros dicen lo mismo. En muchos colegios se cuenta que el cilindro tiene 3 caras (2 bases planas y 1 superficie curva), 2 aristas curvas y ningún vértice, y que el cono tiene 2 caras, 1 arista y 1 vértice (la cúspide). Otros libros reservan la palabra «cara» para las superficies planas y hablan de «superficie lateral». La fórmula de Euler solo vale para poliedros. Tienes más sobre los cuerpos en la página de cuerpos geométricos.
Ejemplos
- Pirámide cuadrangular: caras 1 cuadrado + 4 triángulos = 5; aristas 4 en la base + 4 hasta la cúspide = 8; vértices 4 + 1 = 5. Comprobación: 5 + 5 − 8 = 2.
- Prisma hexagonal (n = 6): caras 6 + 2 = 8, aristas 3 × 6 = 18, vértices 2 × 6 = 12. Comprobación: 8 + 12 − 18 = 2.
- Octaedro (dos pirámides cuadrangulares pegadas por la base): 8 caras, 12 aristas y 6 vértices. Comprobación: 8 + 6 − 12 = 2.
Errores frecuentes
- Olvidar la parte de atrás. En un dibujo solo ves 3 caras del cubo, pero tiene 6. Solución: cuenta por grupos (arriba, abajo, lados) o usa un objeto real.
- Contar una arista dos veces. Cada arista pertenece a dos caras. Solución: cuenta las de la base de arriba, luego las de abajo y por último las que suben.
- Confundir aristas y vértices. Las aristas son líneas; los vértices, puntos. El cubo tiene más aristas (12) que vértices (8).
- Aplicar la fórmula de Euler al cilindro o al cono. Solo funciona con poliedros sin agujeros.
Paso a paso
Paso a paso
- Identifica el cuerpo¿Es un prisma, una pirámide o un cuerpo redondo? Busca la base y cuenta sus lados (n).
- Cuenta las carasBases más caras laterales: n + 2 en un prisma, n + 1 en una pirámide.
- Cuenta las aristasRecorre cada base y luego cuenta las aristas que las unen o que suben a la cúspide.
- Cuenta los vérticesLos de cada base, más la cúspide si es una pirámide.
- Comprueba con EulerCaras + vértices − aristas tiene que dar 2.
Ejercicios de práctica
Caras, aristas y vértices
Resuelve cada uno y luego comprueba tu respuesta.
- ¿Cuántas caras tiene un ortoedro?
Ver respuesta
6 - ¿Cuántos vértices tiene un cubo?
Ver respuesta
4 arriba + 4 abajo = 8 - ¿Cuántas aristas tiene una pirámide cuadrangular?
Ver respuesta
4 en la base + 4 hasta la cúspide = 8 - Di las caras, aristas y vértices de una pirámide triangular.
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4 caras, 6 aristas, 4 vértices - Di las caras, aristas y vértices de un prisma triangular.
Ver respuesta
5 caras, 9 aristas, 6 vértices - Di las caras, aristas y vértices de un prisma pentagonal.
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n = 5: 5 + 2, 3 × 5, 2 × 5 = 7 caras, 15 aristas, 10 vértices - Di las caras, aristas y vértices de una pirámide hexagonal.
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n = 6: 6 + 1, 2 × 6, 6 + 1 = 7 caras, 12 aristas, 7 vértices - Di las caras, aristas y vértices de un prisma octogonal.
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n = 8: 10 caras, 24 aristas, 16 vértices - Una pirámide tiene una base de 10 lados. ¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene?
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11 caras, 20 aristas, 11 vértices - Comprueba la fórmula de Euler en un prisma hexagonal.
Ver respuesta
8 + 12 − 18 = 2, así que se cumple. - Un poliedro tiene 6 caras y 12 aristas. ¿Cuántos vértices tiene?
Ver respuesta
V = 2 − 6 + 12 = 8 - Un poliedro tiene 12 vértices y 30 aristas. ¿Cuántas caras tiene?
Ver respuesta
C = 2 + 30 − 12 = 20 - Un prisma tiene 18 aristas. ¿Qué forma tiene su base?
Ver respuesta
3n = 18, así que n = 6: un hexágono (prisma hexagonal). - Una pirámide tiene 9 caras. ¿Cuántas aristas tiene?
Ver respuesta
n + 1 = 9, así que n = 8 y aristas = 2 × 8 = 16 - Según la regla habitual del colegio, ¿cuántas caras, aristas y vértices tiene un cilindro?
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3 caras (2 planas y 1 curva), 2 aristas, 0 vértices - Alguien dice que un poliedro tiene 7 caras, 10 vértices y 14 aristas. ¿Puede ser?
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7 + 10 − 14 = 3, no 2, así que no.
Problemas
Caras, aristas y vértices en la vida real
Resuelve cada uno y luego comprueba tu respuesta.
- Construyes el esqueleto de un cubo con pajitas y bolitas de plastilina. ¿Cuántas pajitas y cuántas bolitas necesitas?
Ver respuesta
Una pajita por arista y una bolita por vértice: 12 pajitas y 8 bolitas - Construyes el esqueleto de una pirámide cuadrangular con pajitas de 10 cm. ¿Cuántos centímetros de pajita usas en total?
Ver respuesta
8 aristas × 10 cm = 80 cm - Pintas cada cara de un prisma triangular de un color distinto. ¿Cuántos colores necesitas?
Ver respuesta
5 - Una caja mide 30 cm de largo, 20 cm de ancho y 10 cm de alto. Pegas cinta por todas sus aristas. ¿Cuánta cinta necesitas?
Ver respuesta
4 × (30 + 20 + 10) = 4 × 60 = 240 cm - Un balón de fútbol clásico está cosido con 32 piezas y tiene 60 vértices. ¿Cuántas costuras (aristas) tiene?
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A = C + V − 2 = 32 + 60 − 2 = 90
Preguntas frecuentes
¿Qué son las caras, las aristas y los vértices para niños?
La cara es una superficie del cuerpo, como la tapa de una caja; la arista es el borde donde se juntan dos caras; el vértice es la punta o esquina donde se juntan las aristas.
¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene un cubo?
6 caras cuadradas, 12 aristas y 8 vértices. Un ortoedro (como una caja de zapatos) tiene los mismos números.
¿Cómo se calculan las caras, aristas y vértices de un prisma?
Cuenta los lados de la base, n. Un prisma tiene n + 2 caras, 3n aristas y 2n vértices. El prisma triangular (n = 3) tiene 5 caras, 9 aristas y 6 vértices.
¿Y los de una pirámide?
Con una base de n lados, la pirámide tiene n + 1 caras, 2n aristas y n + 1 vértices. La pirámide cuadrangular tiene 5 caras, 8 aristas y 5 vértices.
¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene un cilindro?
En el colegio se suele decir que tiene 3 caras (2 bases planas y 1 superficie curva), 2 aristas curvas y ningún vértice. Como es un cuerpo redondo, algunos libros solo hablan de sus 2 bases y su superficie lateral.
¿Y un cono y una esfera?
El cono suele contarse con 2 caras (1 plana y 1 curva), 1 arista y 1 vértice, la cúspide. La esfera tiene una sola superficie curva y ni aristas ni vértices.
¿Hay una fórmula para las caras, aristas y vértices?
Sí, la fórmula de Euler: C + V − A = 2 en todo poliedro sin agujeros. En el cubo, 6 + 8 − 12 = 2.
Test rápido
Caras, aristas y vértices
Comprueba lo que sabes con 4 preguntas rápidas.
Pregunta 1 de 4
¿Cuántas aristas tiene un cubo?
A practicar
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