Che cos'è la distribuzione normale e come si usa?

Pesa 1000 mele dello stesso frutteto. Alcune saranno molto leggere e altre molto pesanti, ma la maggior parte avrà una massa vicina alla media. Se disegni un istogramma delle masse con barre sempre più strette, il contorno diventa una curva liscia a campana. Questa curva è la distribuzione normale, detta anche distribuzione gaussiana o curva di Gauss, dal matematico Carl Friedrich Gauss.

Una distribuzione normale è determinata da due soli numeri:

• la media μ, che dice dov'è il centro della campana;
• la deviazione standard σ, che dice quanto è larga (vedi deviazione standard).

Si scrive X ~ N(μ, σ²). Attenzione: il secondo numero è la varianza. N(60, 16) vuol dire deviazione standard 4. La distribuzione normale varia quindi in funzione di μ (che la sposta) e di σ (che la allarga o la stringe).

Le sue proprietà:

• È simmetrica rispetto alla media, quindi media = mediana = moda.
• È continua: X può assumere qualsiasi valore reale, non solo interi. Per questo si calcola la probabilità di un intervallo, non di un singolo valore: P(X = a) = 0.
• L'area totale sotto la curva è 1, e l'area tra due valori è la probabilità di cadere fra di essi.
• La curva non tocca mai l'asse orizzontale, ma quasi tutta l'area è entro 3σ dalla media.

La regola 68-95-99,7 dà stime rapide: circa il 68% dei valori è entro 1σ dalla media, circa il 95% entro 2σ e circa il 99,7% entro 3σ.

Per calcoli precisi si standardizza. Il punto z dice di quante deviazioni standard un valore dista dalla media:

z = (x − μ) ÷ σ

I punti z seguono la normale standardizzata Z ~ N(0, 1), con media 0 e deviazione standard 1. La tavola (o la calcolatrice) dà Φ(z) = P(Z ≤ z), l'area a sinistra di z. Alcune tavole italiane riportano invece l'area tra 0 e z: in quel caso, per z positivo, aggiungi 0,5 per ottenere Φ(z).

Per il calcolo inverso (trovare x da una probabilità), cerca lo z che dà quell'area e usa x = μ + zσ.

Come si legge la tavola della distribuzione normale standardizzata?#

Cerca z con due decimali: la riga dà le unità e i decimi, la colonna i centesimi. Il numero all'incrocio è Φ(z) (o l'area tra 0 e z, a seconda della tavola). Per z = 1,23 vai alla riga 1,2 e alla colonna 0,03.

La distribuzione normale è simmetrica?#

Sì, sempre, rispetto alla sua media μ. Per questo media, mediana e moda coincidono.

Che cosa si può fare con la normale standardizzata?#

Grazie a z = (x − μ) ÷ σ si riconduce qualsiasi normale a N(0, 1), così basta una sola tavola per calcolare le probabilità di tutte.

Come verificare se una distribuzione è normale?#

Un primo controllo è guardare l'istogramma: deve avere una forma a campana, più o meno simmetrica. Si può anche verificare se circa il 68% e il 95% dei dati cadono entro 1σ e 2σ dalla media. In statistica esistono poi test appositi.

Come si calcola in Excel?#

=DISTRIB.NORM.N(x; media; dev_standard; VERO) dà P(X ≤ x). =DISTRIB.NORM.ST.N(z; VERO) dà Φ(z), e =INV.NORM.N(p; media; dev_standard) fa il calcolo inverso.

A che cosa si applica la distribuzione normale?#

A dati che si raccolgono in modo simmetrico intorno a una media (altezze, errori di misura, riempimento di una macchina), per capire se un valore è insolito e come base di molti test statistici.