Matematica
Che cosa sono la varianza e la deviazione standard, e come si calcolano?
Risposta veloce
Varianza e deviazione standard misurano quanto i dati si disperdono intorno alla media. La varianza è la media degli scarti al quadrato; la deviazione standard è la sua radice quadrata.
In una frase
Varianza e deviazione standard dicono quanto è sparpagliato un insieme di numeri: un valore piccolo significa che i dati sono vicini alla media, un valore grande che sono molto dispersi.
Spiegazione
Pensa a due cestiste che segnano in media 14 punti a partita. Una ne fa 12, 14 o 16 quasi sempre. L'altra ne fa 4 una sera e 24 la sera dopo. La media è la stessa, ma sono giocatrici molto diverse. La deviazione standard è il numero che coglie questa differenza: misura la costanza, cioè la dispersione.
pallone
righello
orologio
L'idea è guardare quanto ogni valore dista dalla media. Queste distanze si chiamano scarti. Alcuni sono positivi e altri negativi, e la loro somma è sempre zero: non si possono semplicemente mediare. Si eleva al quadrato ogni scarto (così diventa positivo) e si fa la media dei quadrati. Questa è la varianza:
σ² = Σ(x − x̄)² ÷ n
La varianza è in unità al quadrato (cm², punti²), difficili da interpretare. Per questo si fa la radice quadrata e si torna all'unità dei dati. Questa è la deviazione standard, chiamata anche scarto quadratico medio:
σ = √varianza
I simboli: σ (sigma minuscola) è la deviazione standard e σ² la varianza; per un campione si scrivono spesso s e s². Σ (sigma maiuscola) significa "somma tutto", x̄ è la media e n il numero di dati.
Popolazione o campione? Se i dati sono tutto il gruppo che ti interessa, dividi per n. Se sono un campione che serve a stimare una popolazione più grande, dividi per n − 1: il risultato è un po' più grande e corregge il fatto che un campione tende a sottostimare la dispersione. Gli esercizi di solito dicono quale usare. In questa pagina dividiamo per n, salvo quando si parla di "campione".
C'è una formula più rapida che evita di calcolare ogni scarto: σ² = (Σx² ÷ n) − x̄², "la media dei quadrati meno il quadrato della media". Dà esattamente lo stesso risultato ed è quella usata dalle calcolatrici.
Esempi
Dati: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (n = 8). La media è 40 ÷ 8 = 5.
| x | Scarto x − 5 | Al quadrato |
|---|---|---|
| 2 | −3 | 9 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 4 | −1 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |
I quadrati sommano 32. Varianza = 32 ÷ 8 = 4. Deviazione standard = √4 = 2.
Ora le due giocatrici in cinque partite. Giocatrice A: 10, 12, 14, 16, 18. Giocatrice B: 4, 8, 14, 20, 24. Entrambe hanno media 14. Per A i quadrati degli scarti sono 16, 4, 0, 4, 16 (somma 40): varianza 8 e deviazione standard √8 ≈ 2,83. Per B sono 100, 36, 0, 36, 100 (somma 272): varianza 54,4 e deviazione standard ≈ 7,38. La giocatrice A è molto più costante.
Errori comuni
- Non elevare al quadrato gli scarti. Gli scarti semplici sommano sempre 0. Rimedio: eleva al quadrato ciascuno prima di sommare.
- Fermarsi alla varianza. Rimedio: se si chiede la deviazione standard, fai la radice quadrata alla fine.
- Confondere n e n − 1. Rimedio: popolazione → dividi per n; campione → dividi per n − 1. Sulla calcolatrice σx (o σn) è il valore con n e sx (o σn−1) quello con n − 1.
- Mettere nel posto sbagliato il quadrato della media. Nella formula rapida è (Σx² ÷ n) − x̄², non Σx² ÷ n² né (Σx)² ÷ n.
Passo dopo passo
Passo dopo passo
- Calcola la mediaSomma tutti i valori e dividi per quanti sono.
- Calcola gli scartiSottrai la media da ogni valore (x − x̄).
- Eleva al quadratoEleva al quadrato ogni scarto, così sono tutti positivi.
- Fai la media dei quadratiSommali e dividi per n (o per n − 1 se è un campione). Questa è la varianza.
- Fai la radiceLa radice quadrata della varianza è la deviazione standard, nella stessa unità dei dati.
Con una tabella di frequenze si pesa ogni valore: media = Σfx ÷ Σf e varianza = (Σfx² ÷ Σf) − media². Con dati raggruppati in classi si usa il valore centrale di ogni classe; il risultato è una stima.
Esercizi
Varianza e deviazione standard
Prova ogni esercizio, poi controlla la risposta.
- Qual è la deviazione standard di 4, 4, 4, 4?
Mostra la soluzione
Tutti i valori sono uguali alla media: 0 - La varianza è 25. Qual è la deviazione standard?
Mostra la soluzione
√25 = 5 - La deviazione standard è 3. Qual è la varianza?
Mostra la soluzione
3² = 9 - Calcola la varianza di 2, 4, 6, 8.
Mostra la soluzione
Media 5; quadrati 9, 1, 1, 9; somma 20; 20 ÷ 4 = 5 - Calcola la deviazione standard di 2, 4, 6, 8.
Mostra la soluzione
√5 ≈ 2,24 (2 decimali) - Calcola la deviazione standard di 1, 3, 5, 7, 9.
Mostra la soluzione
Media 5; quadrati 16, 4, 0, 4, 16 = 40; varianza 8; √8 ≈ 2,83 - Calcola la deviazione standard di 3, 5, 7.
Mostra la soluzione
Media 5; quadrati 4, 0, 4 = 8; varianza 8 ÷ 3 ≈ 2,67; σ ≈ 1,63 - Senza rifare i conti, qual è la deviazione standard di 13, 15, 17?
Mostra la soluzione
Sono 3, 5, 7 con 10 aggiunto a ogni valore; la dispersione non cambia: ≈ 1,63 - Tutti i valori di un insieme vengono raddoppiati. Che cosa succede alla deviazione standard e alla varianza?
Mostra la soluzione
La deviazione standard raddoppia e la varianza viene moltiplicata per 4. - Calcola la deviazione standard di 5, 7, 8, 10, 15.
Mostra la soluzione
Media 9; quadrati 16, 4, 1, 1, 36 = 58; varianza 11,6; σ = √11,6 ≈ 3,41 - n = 5, Σx = 30 e Σx² = 200. Calcola la deviazione standard.
Mostra la soluzione
Media 6; varianza 200 ÷ 5 − 6² = 40 − 36 = 4; σ = 2 - Calcola la deviazione standard campionaria s di 2, 4, 6, 8.
Mostra la soluzione
I quadrati sommano 20; s² = 20 ÷ 3 ≈ 6,67; s ≈ 2,58 - I valori 1, 2, 3 hanno frequenze 2, 5, 3. Calcola la deviazione standard.
Mostra la soluzione
Σf = 10, Σfx = 21, media 2,1; Σfx² = 49; varianza 4,9 − 4,41 = 0,49; σ = 0,7 - L'insieme A è 48, 50, 52 e l'insieme B è 30, 50, 70. Quale ha la deviazione standard maggiore?
Mostra la soluzione
Stessa media (50), ma i valori di B sono molto più lontani: l'insieme B
Problemi
La dispersione nella vita reale
Prova ogni esercizio, poi controlla la risposta.
- Le temperature a mezzogiorno di una settimana sono state 18, 20, 21, 19, 22, 23 e 17 °C. Calcola la deviazione standard.
Mostra la soluzione
Media 140 ÷ 7 = 20; quadrati 4, 0, 1, 1, 4, 9, 9 = 28; varianza 4; σ = 2 °C - Un caffè costa 1,20 €, 1,40 €, 1,50 € e 1,90 € in quattro bar. Calcola la deviazione standard dei prezzi.
Mostra la soluzione
Media 1,50 €; quadrati 0,09; 0,01; 0; 0,16 = 0,26; varianza 0,065; σ ≈ 0,25 € (2 decimali) - Una verifica ha media 70 e deviazione standard 5. Ana prende 80. Di quante deviazioni standard è sopra la media?
Mostra la soluzione
(80 − 70) ÷ 5 = 2 deviazioni standard sopra - Una macchina riempie sacchetti di riso con media 1000 g e deviazione standard 4 g. Un sacchetto pesa 992 g. È insolito?
Mostra la soluzione
(992 − 1000) ÷ 4 = −2: è 2 deviazioni standard sotto la media, piuttosto insolito. - Due velocisti hanno la stessa media sui 100 m. X ha σ = 0,1 s e Y ha σ = 0,4 s. Chi è più costante?
Mostra la soluzione
Deviazione standard più piccola, meno dispersione: il velocista X
Domande frequenti
Varianza e deviazione standard sono la stessa cosa?
No, ma sono legate. Entrambe misurano la dispersione: la varianza è la media degli scarti al quadrato (unità al quadrato), la deviazione standard è la sua radice quadrata, nella stessa unità dei dati, e per questo si interpreta più facilmente.
Qual è la differenza tra varianza e deviazione standard, in parole semplici?
La varianza è un passaggio di calcolo; la deviazione standard è il risultato da leggere, perché indica la distanza tipica dei dati dalla media, nella loro stessa unità.
Che cosa indica una deviazione standard grande?
Che i dati sono molto dispersi, con molti valori lontani dalla media. Una deviazione standard piccola indica dati raccolti vicino alla media.
Come si calcola con la calcolatrice?
Usa la modalità statistica (STAT), inserisci i dati e leggi σx per una popolazione o sx per un campione.
Come si calcola in Excel?
=DEV.ST.P(A1:A10) per una popolazione e =DEV.ST.C(A1:A10) per un campione. VAR.P e VAR.C danno le varianze.
A che cosa serve la deviazione standard?
A confrontare la costanza (sport, prezzi, voti), a misurare il rischio in finanza e a descrivere la distribuzione normale, di cui fissa la larghezza.
Quiz veloce
Varianza e deviazione standard
Metti alla prova ciò che sai con 4 domande veloci.
Domanda 1 di 4
Qual è la deviazione standard di 5, 5, 5, 5?
Esercitati
Prova tu
Esercitati su varianza e deviazione standard senza limiti
Schede di statistica
Esercitati passo dopo passo in un corso completo: Matematica · terza superiore
Per gli adulti
Argomenti collegati
Media, mediana e moda
Media, mediana e moda sono tre tipi di valore medio. La media divide il totale in parti uguali, la mediana è il valore centrale in ordine, la moda è il valore più frequente.
La distribuzione normale
La distribuzione normale (o gaussiana) ha una curva a campana simmetrica, determinata dalla media μ e dalla deviazione standard σ. Circa il 68% dei valori dista meno di 1σ dalla media.
Grafici a barre
Un grafico a barre mostra i dati con barre di lunghezze diverse. Più la barra è lunga, più il numero è grande. A scuola si chiama spesso anche istogramma.
La distribuzione binomiale
La distribuzione binomiale B(n; p) dà la probabilità di k successi in n prove indipendenti con probabilità di successo p: P(X = k) = (n su k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Il valore atteso è np.
Quartili e scarto interquartile
I quartili dividono i dati ordinati in quattro parti uguali. Lo scarto interquartile è il terzo quartile meno il primo, Q₃ − Q₁: la dispersione della metà centrale dei dati.
Probabilità condizionata
La probabilità condizionata è la probabilità di un evento A quando sai già che si è verificato B. Si scrive P(A|B) e si calcola con P(A|B) = P(A∩B) : P(B).