Matematica
Che cos'è la probabilità condizionata e come si calcola?
Risposta veloce
La probabilità condizionata è la probabilità di un evento A quando sai già che si è verificato B. Si scrive P(A|B) e si calcola con P(A|B) = P(A∩B) : P(B).
In una frase
La probabilità condizionata è la probabilità che succeda qualcosa quando sai già che è successa un'altra cosa.
Spiegazione
Lancia un dado equo. La probabilità che esca 6 è 1/6. Ora un amico sbircia e dice: «È uscito un pari». All'improvviso sono possibili solo 2, 4 e 6, e uno dei tre è il 6. La probabilità che esca 6 sapendo che è uscito un pari è 1/3. Il dado non è cambiato; è cambiato quello che sai, e questo riduce lo spazio degli esiti possibili.
borsa
palla
pioggia
Si scrive P(A|B) e si legge «probabilità di A dato B» oppure «probabilità di A condizionata a B». La barra verticale vuol dire «dato». A è l'evento che ti interessa, B è ciò che sai già. La formula è:
P(A|B) = P(A∩B) : P(B), purché P(B) non sia 0.
A parole: fra tutte le volte in cui si verifica B, in quale frazione si verifica anche A? Con i conteggi è ancora più semplice: casi favorevoli sia ad A sia a B : casi di B. Se conosci la probabilità di base e le frazioni, hai già tutto quello che serve.
Ricavando P(A∩B) si ottiene la regola del prodotto, quella che usi in un diagramma ad albero:
P(A∩B) = P(B) · P(A|B)
Le probabilità sui rami del secondo livello di un albero sono condizionate: presuppongono che il primo ramo si sia già verificato. Per questo, nelle estrazioni «senza reimmissione», i numeri del secondo livello cambiano.
Due eventi sono indipendenti quando sapere che uno si è verificato non dice nulla sull'altro. Allora P(A|B) = P(A), e la regola del prodotto diventa P(A∩B) = P(A) · P(B). Lanci successivi di una moneta sono indipendenti; prendere due caramelle da un sacchetto senza rimettere la prima no.
Attenzione all'ordine: P(A|B) e P(B|A) di solito sono diverse. Quasi tutti i calciatori corrono veloci, ma quasi nessuno di quelli che corrono veloci è calciatore. Passare dall'una all'altra è il compito del teorema di Bayes: P(B|A) = P(A|B) · P(B) : P(A).
Esempi
Una tabella a doppia entrata. A una classe di 30 studenti si chiede di sport e musica:
| Suona uno strumento | Non suona | Totale | |
|---|---|---|---|
| Fa sport | 8 | 10 | 18 |
| Non fa sport | 4 | 8 | 12 |
| Totale | 12 | 18 | 30 |
- Probabilità che uno studente suoni uno strumento sapendo che fa sport: guardi solo la riga dello sport. 8 su 18, quindi 8/18 = 4/9.
- Probabilità che faccia sport sapendo che suona: guardi solo quella colonna. 8 su 12, quindi 8/12 = 2/3. Non è 4/9: l'ordine conta.
Con la formula. P(A∩B) = 0,12 e P(B) = 0,4, quindi P(A|B) = 0,12 : 0,4 = 0,3.
Senza reimmissione. Un sacchetto contiene 5 palline rosse e 3 blu. Ne estrai una, la tieni, e ne estrai un'altra. Se la prima era rossa, restano 4 rosse su 7: P(2ª rossa | 1ª rossa) = 4/7. La probabilità che siano rosse entrambe è 5/8 · 4/7 = 20/56 = 5/14.
Un test medico (numeri inventati). Immagina che l'1% delle persone abbia una malattia. Un test individua il 90% dei malati, ma risulta positivo anche nel 5% dei sani. Pensa a 10.000 persone: 100 sono malate e 90 di loro risultano positive; 9.900 sono sane e il 5% di loro, cioè 495, risulta comunque positivo. In tutto i positivi sono 90 + 495 = 585, e P(malato | positivo) = 90 : 585 = 2/13, circa il 15%. Poiché la malattia è rara, la maggior parte dei positivi sono falsi allarmi: per questo un primo risultato positivo di solito si conferma con un secondo test.
Errori comuni
- Scambiare l'ordine. P(A|B) non è P(B|A). Rimedio: dillo a parole («la probabilità di A fra i B») prima di calcolare.
- Dividere per il totale sbagliato. Con «dato B» si divide per i casi (o la probabilità) di B, non per tutto il gruppo. Nella classe qui sopra è 8/18, non 8/30.
- Confondere «dato» con «e». P(A∩B) è una parte di tutto il gruppo; P(A|B) è una parte soltanto di B. P(A∩B) non è mai più grande di P(A|B).
- Non aggiornare la seconda estrazione. Senza reimmissione diminuiscono di uno sia il totale sia il numero di palline di quel colore.
Passo dopo passo
Passo dopo passo
- Trova la condizioneCerca «sapendo che», «dato che», «se», «fra quelli che». Quell'evento è B.
- Trova il nuovo totaleConta i casi di B o calcola P(B). Prende il posto del gruppo intero.
- Trova l'intersezioneConta i casi che stanno sia in A sia in B, oppure calcola P(A∩B).
- DividiP(A|B) = intersezione : nuovo totale.
- ControllaIl risultato deve essere fra 0 e 1. Confrontalo con P(A): se è uguale, A e B sono indipendenti.
Esercizi
Probabilità condizionata
Prova ogni esercizio, poi controlla la risposta.
- Lanci un dado equo. Calcola P(5 | dispari).
Mostra la soluzione
Dispari: 1, 3, 5 (3 casi). Uno è il 5: 1/3 - Lanci un dado. Calcola P(pari | maggiore di 2).
Mostra la soluzione
Maggiori di 2: 3, 4, 5, 6. Pari fra questi: 4 e 6. 2/4 = 1/2 - Lanci un dado. Calcola P(minore di 3 | pari).
Mostra la soluzione
Pari: 2, 4, 6. Solo il 2 è minore di 3: 1/3 - P(A∩B) = 0,2 e P(B) = 0,5. Calcola P(A|B).
Mostra la soluzione
0,2 : 0,5 = 0,4 - P(A∩B) = 0,15 e P(A) = 0,6. Calcola P(B|A).
Mostra la soluzione
0,15 : 0,6 = 0,25 - P(B) = 0,3 e P(A|B) = 0,5. Calcola P(A∩B).
Mostra la soluzione
0,3 · 0,5 = 0,15 - Un sacchetto contiene 4 gettoni rossi e 6 verdi. Se ne estraggono due senza reimmissione. Calcola P(2° rosso | 1° rosso).
Mostra la soluzione
Restano 3 rossi su 9: 3/9 = 1/3 - Stesso sacchetto. Calcola P(entrambi rossi).
Mostra la soluzione
4/10 · 3/9 = 12/90 = 2/15 - Stesso sacchetto. Calcola P(2° rosso | 1° verde).
Mostra la soluzione
Restano 4 rossi su 9: 4/9 - Usa la tabella della classe. Calcola P(sport | non suona).
Mostra la soluzione
18 non suonano; 10 di loro fanno sport: 10/18 = 5/9 - Usa la tabella. Calcola P(non fa sport | suona).
Mostra la soluzione
12 suonano; 4 di loro non fanno sport: 4/12 = 1/3 - P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 e P(A∩B) = 0,2. A e B sono indipendenti?
Mostra la soluzione
0,5 · 0,4 = 0,2 = P(A∩B), e P(A|B) = 0,2 : 0,4 = 0,5 = P(A): sì - P(A) = 0,3, P(B) = 0,6 e P(A∩B) = 0,1. Sono indipendenti?
Mostra la soluzione
0,3 · 0,6 = 0,18, che non è 0,1: no - Si lanciano due monete. Sapendo che è uscita almeno una testa, calcola P(due teste).
Mostra la soluzione
Con T = testa e C = croce, almeno una testa: TT, TC, CT (3 casi). Due teste: 1 di essi: 1/3 - Si lanciano due dadi. Sapendo che la somma è 8, calcola P(entrambi mostrano 4).
Mostra la soluzione
Somma 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2), cioè 5 casi. Va bene solo (4,4): 1/5 - P(A|B) = 0,6, P(B) = 0,5 e P(A) = 0,4. Calcola P(B|A).
Mostra la soluzione
P(A∩B) = 0,5 · 0,6 = 0,3, quindi P(B|A) = 0,3 : 0,4 = 0,75
Problemi
La probabilità condizionata nella vita reale
Prova ogni esercizio, poi controlla la risposta.
- In un gruppo di 40 studenti, a 25 piace il calcio, e a 10 di loro piace anche il basket. Si sceglie a caso un appassionato di calcio. Qual è la probabilità che gli piaccia il basket?
Mostra la soluzione
10 : 25 = 2/5 (0,4) - La probabilità che domani piova è 0,3. Se piove, la probabilità che l'autobus sia in ritardo è 0,4; se non piove, è 0,1. Qual è la probabilità che piova e l'autobus sia in ritardo?
Mostra la soluzione
0,3 · 0,4 = 0,12 - Stessa situazione. Qual è la probabilità che l'autobus sia in ritardo?
Mostra la soluzione
Pioggia e ritardo: 0,12. Niente pioggia e ritardo: 0,7 · 0,1 = 0,07. Totale (probabilità totale): 0,19 - Stessa situazione. L'autobus è arrivato in ritardo. Qual è la probabilità che abbia piovuto?
Mostra la soluzione
0,12 : 0,19 = 12/19 ≈ 0,63 (teorema di Bayes) - In una confezione da 12 uova ce ne sono 3 incrinate. Ne prendi due senza guardare. Qual è la probabilità che la seconda sia incrinata, sapendo che lo era la prima?
Mostra la soluzione
Restano 2 incrinate su 11: 2/11 - Una macchina controlla 2.000 telefoni, e il 5% è difettoso. Segnala il 95% dei difettosi e, per errore, il 4% di quelli buoni. Un telefono viene segnalato. Qual è la probabilità che sia davvero difettoso?
Mostra la soluzione
Difettosi: 100, segnalati 95. Buoni: 1.900, segnalati 76. 95 : (95 + 76) = 95/171 = 5/9 ≈ 0,56
Domande frequenti
Qual è la formula della probabilità condizionata?
P(A|B) = P(A∩B) : P(B): la probabilità che si verifichino entrambi gli eventi divisa per la probabilità dell'evento che sai già verificato. Con i conteggi: casi di A e B : casi di B.
Come si legge P(A|B)?
«Probabilità di A dato B» o «probabilità di A condizionata a B». La barra vuol dire «dato». L'evento dopo la barra è quello che sai già che si è verificato.
Che cosa succede con eventi indipendenti?
La condizione non cambia nulla: P(A|B) = P(A), che equivale a P(A∩B) = P(A) · P(B). Una moneta ha sempre probabilità 1/2 di dare testa, qualunque cosa sia uscita prima.
Che differenza c'è fra probabilità condizionata e teorema di Bayes?
La probabilità condizionata è l'idea e la formula di base. Il teorema di Bayes si costruisce a partire da essa e dalla formula delle probabilità totali, e permette di «rovesciare» P(A|B) per ottenere P(B|A). L'esempio del test medico è un calcolo con Bayes.
Come si usa il diagramma ad albero?
Metti il primo evento sui primi rami e il secondo sui rami successivi, con le probabilità che valgono dopo il primo. Moltiplica lungo ogni percorso. Per una domanda con «sapendo che», dividi il percorso che cerchi per la somma dei percorsi che soddisfano la condizione.
Quiz veloce
Probabilità condizionata
Metti alla prova ciò che sai con 5 domande veloci.
Domanda 1 di 5
Lanci un dado equo e ti dicono che è uscito un numero pari. Qual è la probabilità che sia un 4?
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La probabilità misura quanto è facile che accada qualcosa, su una scala da 0 (impossibile) a 1 (certo). Una moneta equilibrata che cade su testa ha probabilità 1/2.
I diagrammi di Venn
Un diagramma di Venn usa cerchi che si sovrappongono per classificare le cose in gruppi. La parte comune mostra ciò che appartiene a entrambi i gruppi, l'esterno ciò che non appartiene a nessuno.
Frazioni
Una frazione è una parte di un intero diviso in parti uguali. In ¾, il numero sotto dice in quante parti uguali è diviso l'intero e quello sopra quante ne hai.
Percentuali
La percentuale è un numero su 100, scritto con il segno %. Quindi 25% vuol dire 25 su ogni 100, cioè un quarto.
Spazio campionario
Lo spazio campionario è l'insieme di tutti i risultati possibili di un esperimento casuale. Per una moneta è Ω = {T, C}; per un dado, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
La distribuzione binomiale
La distribuzione binomiale B(n; p) dà la probabilità di k successi in n prove indipendenti con probabilità di successo p: P(X = k) = (n su k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Il valore atteso è np.