Che cos'è lo spazio campionario in probabilità?

Un esperimento casuale (o aleatorio) è qualsiasi situazione il cui risultato non si può prevedere: lanciare una moneta, tirare un dado, pescare una caramella da un sacchetto, scegliere un menù a caso. Ogni risultato possibile è un evento elementare, e l'insieme di tutti i risultati è lo spazio campionario. Si indica di solito con la lettera greca Ω (omega), a volte con S, e si scrivono i risultati tra parentesi graffe:

• Lancio di una moneta: Ω = {T, C} (testa e croce)
• Lancio di un dado: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Scelta di un giorno della settimana: Ω = {lunedì, martedì, … , domenica}

Il numero di elementi si scrive n(Ω). Per un dado, n(Ω) = 6. (In inglese lo spazio campionario si chiama sample space.)

Un evento è una parte (un sottoinsieme) dello spazio campionario: uno o più risultati che ti interessano. «Esce un numero pari» è l'evento E = {2, 4, 6}. Se tutti i risultati sono ugualmente possibili, vale la definizione classica di probabilità:

P(E) = casi favorevoli ÷ casi possibili = n(E) ÷ n(Ω)

Quindi P(pari) = 3/6 = 1/2. Ecco perché lo spazio campionario è così importante: è il denominatore della frazione. Se è sbagliato, tutte le probabilità sono sbagliate.

Quando l'esperimento ha due o più fasi, scrivi i risultati in ordine. Due monete danno TT, TC, CT e CC: quattro risultati, non tre, perché «testa e poi croce» è diverso da «croce e poi testa». Per contare in fretta si usa il principio fondamentale del calcolo combinatorio: se la prima fase ha m risultati e la seconda n, in tutto sono m × n. Due monete: 2 × 2 = 4. Tre monete: 2 × 2 × 2 = 8. Due dadi: 6 × 6 = 36.

Ci sono tre buoni modi per rappresentare lo spazio campionario:

• Un elenco ordinato, per non dimenticare nulla (prima tutti quelli che iniziano con T, poi quelli con C).
• Una tabella a doppia entrata, perfetta per due fasi, come due dadi o una moneta e una ruota.
• Un diagramma ad albero, il migliore da tre fasi in su, come tre monete.

La tabella dei due dadi mostra anche che cosa sono gli eventi indipendenti: eventi in cui uno non influenza l'altro, come i risultati di due dadi diversi. Per eventi indipendenti vale P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Nella tabella, «il primo dado è pari» occupa 18 caselle e «il secondo dado dà 6» ne occupa 6; solo 3 caselle hanno tutte e due le cose, e 3/36 = 1/12 = 1/2 × 1/6. Non confonderli con gli eventi incompatibili (disgiunti), che non hanno risultati in comune e non possono mai verificarsi insieme («esce il 2» ed «esce un dispari»). In un diagramma di Venn il rettangolo è lo spazio campionario e ogni cerchio è un evento: gli eventi incompatibili non si sovrappongono.

Qual è lo spazio campionario del lancio di due dadi?#

Sono le 36 coppie ordinate (1, 1), (1, 2), … , (6, 6). Il modo più comodo è una tabella 6 per 6. Le somme da 2 a 12 non formano uno spazio campionario equiprobabile.

Come si calcola lo spazio campionario?#

Si elencano tutti i risultati, oppure se ne conta il numero con il principio fondamentale del calcolo combinatorio: si moltiplicano i risultati di ogni fase. Tre monete danno 2 × 2 × 2 = 8 risultati.

Che cos'è uno spazio campionario discreto o continuo?#

È discreto quando i risultati si possono contare, come le facce di un dado. È continuo quando il risultato è una misura che può assumere qualsiasi valore in un intervallo, come il tempo di attesa dell'autobus.

Che differenza c'è tra spazio campionario ed evento?#

Lo spazio campionario contiene tutti i risultati possibili; un evento ne è una parte. Con un dado, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e l'evento «esce meno di 3» è {1, 2}.

Che cosa sono gli eventi indipendenti e qual è la formula?#

Sono eventi in cui uno non cambia la probabilità dell'altro, come due lanci di moneta. Vale P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Se non vale, sono dipendenti; vedi probabilità condizionata.

Eventi indipendenti e incompatibili sono la stessa cosa?#

No. Gli eventi incompatibili (disgiunti) non possono verificarsi insieme, quindi P(A ∩ B) = 0. Gli eventi indipendenti possono verificarsi insieme; uno semplicemente non cambia la probabilità dell'altro. Due eventi con probabilità maggiore di 0 non possono essere tutte e due le cose.