Matematica
Che cos'è il poligono delle frequenze e come si disegna?
Risposta veloce
Il poligono delle frequenze è un grafico a linee per dati raggruppati in classi. Si segna la frequenza di ogni classe sopra il suo valore centrale e si uniscono i punti con segmenti.
In una frase
Il poligono delle frequenze è un grafico che si ottiene segnando la frequenza di ogni classe sopra il centro della classe e unendo i punti con segmenti.
Spiegazione
Quando i dati sono raggruppati in classi, per esempio altezze da 150 a 160 cm e da 160 a 170 cm, i valori esatti si perdono: sai solo quanti dati cadono in ogni classe, cioè la sua frequenza assoluta. Un istogramma lo mostra con rettangoli accostati. Il poligono delle frequenze mostra la stessa informazione con punti e segmenti.
Ogni classe è rappresentata da un punto:
- in orizzontale: il valore centrale della classe, valore centrale = (estremo inferiore + estremo superiore) ÷ 2
- in verticale: la frequenza della classe
Per la classe da 150 a 160 con frequenza 8, il valore centrale è (150 + 160) ÷ 2 = 155, quindi segni il punto (155; 8). Poi unisci i punti, in ordine, con dei segmenti. Perché il valore centrale? Dentro la classe non sai dove stanno i dati, quindi il centro è il rappresentante più giusto per tutti.
righello
matita
montagna
Se l'istogramma è già disegnato, c'è una scorciatoia: segna il punto medio del lato superiore di ogni rettangolo e unisci quei punti. Se sull'asse verticale metti le frequenze relative (o percentuali), ottieni il poligono delle frequenze relative: stessa forma, scala diversa.
Il poligono delle frequenze dà il meglio quando si confronta. Due istogrammi sugli stessi assi si coprono, mentre due poligoni (le altezze di ragazze e ragazzi, o i voti di due classi) stanno in un solo grafico con colori diversi. Si vede subito quale gruppo sta più in alto, quale è più disperso e dove ognuno ha il suo picco.
Molti libri chiudono il poligono: aggiungono a ogni estremità una classe vuota, con frequenza 0, così la linea parte dall'asse orizzontale e ci ritorna. Altri uniscono solo i punti segnati. Segui quello che chiede l'insegnante; entrambi mostrano gli stessi dati.
Da non confondere:
- Un grafico a linee di solito mostra come cambia una grandezza nel tempo. Il poligono delle frequenze mostra quante volte compare ogni valore.
- Il poligono delle frequenze cumulate segna i totali progressivi sull'estremo superiore di ogni classe; vedi frequenza cumulata.
Esempi
Altezze di 30 alunni:
| Altezza (cm) | Frequenza | Valore centrale | Punto |
|---|---|---|---|
| da 140 a 150 | 3 | 145 | (145; 3) |
| da 150 a 160 | 8 | 155 | (155; 8) |
| da 160 a 170 | 11 | 165 | (165; 11) |
| da 170 a 180 | 6 | 175 | (175; 6) |
| da 180 a 190 | 2 | 185 | (185; 2) |
Segna i cinque punti e uniscili con segmenti. Il poligono sale fino a un picco in 165 (la classe modale, da 160 a 170 cm) e scende da tutte e due le parti. Per chiuderlo, aggiungi (135; 0) e (195; 0), i valori centrali delle classi vuote da 130 a 140 e da 190 a 200.
Con gli stessi punti si può stimare la media: moltiplica ogni valore centrale per la sua frequenza, somma e dividi per il totale. Qui (145 × 3 + 155 × 8 + 165 × 11 + 175 × 6 + 185 × 2) ÷ 30 = 4910 ÷ 30 ≈ 163,7 cm. È solo una stima, perché i valori centrali prendono il posto delle altezze vere (vedi anche media, mediana e moda).
Errori comuni
- Segnare i punti sugli estremi delle classi. Come correggere: il poligono delle frequenze usa i valori centrali. Gli estremi superiori servono per il poligono delle cumulate.
- Sbagliare il valore centrale. Quello della classe da 20 a 30 è 25, non 20 né 30. Come correggere: somma gli estremi e dividi per 2.
- Unire con una curva o unire l'ultimo punto al primo. Come correggere: segmenti dritti con il righello, da ogni punto al successivo, da sinistra a destra.
- Una scala irregolare sull'asse orizzontale. Come correggere: l'asse orizzontale è una retta numerica; a passi uguali corrispondono distanze uguali.
Passo dopo passo
Passo dopo passo
- Calcola i valori centraliPer ogni classe somma i due estremi e dividi per 2.
- Disegna gli assiIn orizzontale una scala numerica continua che copra tutte le classi; in verticale la frequenza.
- Segna i puntiUn punto per classe: (valore centrale; frequenza).
- Unisci i puntiCon il righello unisci ogni punto al successivo con un segmento.
- Chiudi se richiestoAggiungi a ogni estremità un punto con frequenza 0 sul valore centrale di una classe vuota.
Esercizi
Il poligono delle frequenze
Prova ogni esercizio, poi controlla la risposta.
- Qual è il valore centrale della classe da 10 a 20?
Mostra la soluzione
(10 + 20) ÷ 2 = 15 - Qual è il valore centrale della classe da 0 a 5?
Mostra la soluzione
(0 + 5) ÷ 2 = 2,5 - Qual è il valore centrale della classe da 150 a 160?
Mostra la soluzione
155 - Qual è il valore centrale della classe da 20 a 40?
Mostra la soluzione
(20 + 40) ÷ 2 = 30 - La classe da 30 a 40 ha frequenza 7. Quale punto si segna?
Mostra la soluzione
(35; 7) - Le classi 0–10, 10–20 e 20–30 hanno frequenze 4, 9 e 5. Scrivi i punti.
Mostra la soluzione
(5; 4), (15; 9) e (25; 5) - Le classi 10–20, 20–30 e 30–40 hanno frequenze 2, 6 e 3. Quali due punti chiudono il poligono?
Mostra la soluzione
(5; 0) e (45; 0) - Un poligono delle frequenze passa per (25; 4), (35; 10), (45; 7) e (55; 3). Qual è il numero totale di dati?
Mostra la soluzione
4 + 10 + 7 + 3 = 24 - Nel poligono dell'esercizio 8, quale classe ha la frequenza più alta?
Mostra la soluzione
Il picco è in 35, quindi da 30 a 40 - Nel poligono dell'esercizio 8, qual è l'ampiezza delle classi?
Mostra la soluzione
35 − 25 = 10 - Nel poligono dell'esercizio 8, quanti dati valgono 40 o più?
Mostra la soluzione
7 + 3 = 10 - Un punto è in (2,5; 6) e le classi hanno ampiezza 5. Di quale classe si tratta?
Mostra la soluzione
da 0 a 5, con frequenza 6 - Stima la media dal poligono dell'esercizio 8.
Mostra la soluzione
(25 × 4 + 35 × 10 + 45 × 7 + 55 × 3) ÷ 24 = 930 ÷ 24 = 38,75 - In quale valore orizzontale si rappresenta la classe da 40 a 60 (a) in un poligono delle frequenze, (b) in un poligono delle frequenze cumulate?
Mostra la soluzione
(a) 50, il valore centrale; (b) 60, l'estremo superiore
Problemi
Il poligono delle frequenze nella vita di tutti i giorni
Prova ogni esercizio, poi controlla la risposta.
- Tempi di reazione: da 0,2 a 0,3 s, 5 persone; da 0,3 a 0,4 s, 12 persone; da 0,4 a 0,5 s, 8 persone. Quali punti si segnano?
Mostra la soluzione
(0,25; 5), (0,35; 12) e (0,45; 8) - Si pesano 50 mele: 100–120 g: 6; 120–140 g: 15; 140–160 g: 20; 160–180 g: le restanti. Trova la frequenza mancante e il suo punto.
Mostra la soluzione
50 − 41 = 9, nel punto (170; 9) - Temperature a mezzogiorno per 30 giorni: 10–15 °C, 4 giorni; 15–20 °C, 11 giorni; 20–25 °C, 10 giorni; 25–30 °C, 5 giorni. In quanti giorni ci sono stati 20 °C o più?
Mostra la soluzione
10 + 5 = 15 giorni - Un poligono dei tempi di viaggio in autobus passa per (5; 8), (15; 14), (25; 6) e (35; 2), in minuti. Stima il tempo medio.
Mostra la soluzione
(40 + 210 + 150 + 70) ÷ 30 = 470 ÷ 30 ≈ 15,7 minuti - Due classi di 30 alunni fanno la stessa verifica. Il poligono della terza A ha il picco a 7, quello della terza B a 6, con forme simili. Quale classe è andata meglio in generale?
Mostra la soluzione
La terza A: i suoi voti più frequenti sono circa 1 voto più alti.
Domande frequenti
Che cos'è il poligono delle frequenze?
È un grafico per dati raggruppati in classi: ogni classe è un punto (valore centrale; frequenza) e i punti sono uniti da segmenti. Mostra la forma della distribuzione.
Che differenza c'è tra istogramma e poligono delle frequenze?
Rappresentano gli stessi dati raggruppati. L'istogramma usa rettangoli accostati; il poligono usa punti sopra i valori centrali uniti da segmenti. Unendo i punti medi dei lati superiori dei rettangoli di un istogramma si ottiene il poligono delle frequenze.
Che cos'è il poligono delle frequenze cumulate?
Si segnano le frequenze cumulate sull'estremo superiore di ogni classe, partendo da 0 sull'estremo inferiore della prima, e si uniscono i punti. La linea sale sempre e serve per stimare la mediana e i quartili.
Qual è la differenza tra poligono delle frequenze e grafico a linee?
Un grafico a linee mostra di solito un andamento nel tempo, come la temperatura durante una giornata. Nel poligono delle frequenze sull'asse orizzontale ci sono valori come le altezze e su quello verticale le frequenze.
Come si fa un poligono delle frequenze con Excel?
Scrivi i valori centrali in una colonna e le frequenze nella successiva. Selezionale e inserisci un grafico a dispersione con linee rette e indicatori.
Quiz veloce
Il poligono delle frequenze
Metti alla prova ciò che sai con 5 domande veloci.
Domanda 1 di 5
Dove si segna ogni punto di un poligono delle frequenze?
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La distribuzione binomiale
La distribuzione binomiale B(n; p) dà la probabilità di k successi in n prove indipendenti con probabilità di successo p: P(X = k) = (n su k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Il valore atteso è np.
Probabilità condizionata
La probabilità condizionata è la probabilità di un evento A quando sai già che si è verificato B. Si scrive P(A|B) e si calcola con P(A|B) = P(A∩B) : P(B).