Matematica
Che cos'è la frequenza cumulata e come si calcola?
Risposta veloce
La frequenza cumulata è la somma delle frequenze fino a un valore. Si aggiunge ogni frequenza alla precedente; l'ultima è il totale dei dati, e da essa si ricavano mediana e quartili.
In una frase
La frequenza cumulata è una somma che cresce: per ogni valore o classe ti dice quanti dati sono uguali a quel valore o più piccoli.
Spiegazione
Immagina di chiedere a 80 studenti quanti minuti hanno dedicato ai compiti ieri sera. La frequenza assoluta dice quanti studenti ci sono in ogni classe, per esempio «tra 20 e 30 minuti». La frequenza assoluta cumulata risponde a un'altra domanda: quanti studenti hanno studiato 30 minuti o meno? Per trovarla sommi le frequenze dall'alto verso il basso, come un punteggio che continua a salire.
orologio
quaderno
matita
La regola è semplice:
frequenza cumulata di una riga = frequenza della riga + frequenza cumulata della riga precedente
La prima frequenza cumulata è uguale alla prima frequenza. L'ultima è sempre il numero totale di dati n: un buon controllo per i tuoi calcoli. I dati arrivano spesso da una tabella di conteggio.
Nella stessa tabella di solito si chiedono:
- la frequenza assoluta cumulata: la somma delle frequenze fino a quel valore;
- la frequenza relativa cumulata: la frequenza assoluta cumulata ÷ n, un numero tra 0 e 1 (l'ultima vale 1);
- la frequenza percentuale cumulata: la relativa cumulata × 100 (l'ultima vale 100%).
A cosa serve? Con la tabella delle cumulate, domande come «quanti hanno studiato 20 minuti o meno?» hanno una risposta immediata. E permette di trovare mediana e quartili di tanti dati raggruppati senza metterli tutti in ordine.
Il grafico delle frequenze cumulate (ogiva). Con dati in classi, ogni frequenza cumulata si segna nell'estremo superiore della classe, perché lì tutti i dati della classe sono già stati contati. Si parte da 0 nell'estremo inferiore della prima classe e si uniscono i punti con segmenti (o con una curva morbida). Il grafico sale sempre o resta piatto, spesso con la forma di una S allungata.
Per leggerlo parti dall'asse verticale, vai in orizzontale fino al grafico e scendi sull'asse orizzontale. Con n dati:
- la mediana si legge all'altezza n ÷ 2;
- il primo quartile Q₁ all'altezza n ÷ 4;
- il terzo quartile Q₃ all'altezza 3n ÷ 4;
- la differenza interquartile è Q₃ − Q₁ e misura la dispersione della metà centrale dei dati.
Con dati raggruppati, i valori letti sul grafico sono stime. Collegati: media, mediana e moda e gli istogrammi, che mostrano le stesse classi con rettangoli.
Esempi
Tempo dei compiti di 80 studenti:
| Tempo t (minuti) | Frequenza | Frequenza cumulata | Relativa cumulata | Punto del grafico |
|---|---|---|---|---|
| 0 < t ≤ 10 | 6 | 6 | 0,075 | (10; 6) |
| 10 < t ≤ 20 | 14 | 6 + 14 = 20 | 0,25 | (20; 20) |
| 20 < t ≤ 30 | 20 | 20 + 20 = 40 | 0,5 | (30; 40) |
| 30 < t ≤ 40 | 20 | 40 + 20 = 60 | 0,75 | (40; 60) |
| 40 < t ≤ 50 | 15 | 60 + 15 = 75 | 0,9375 | (50; 75) |
| 50 < t ≤ 60 | 5 | 75 + 5 = 80 | 1 | (60; 80) |
Si segna anche il punto (0; 0). Esempio svolto: n = 80, quindi la mediana si legge all'altezza 40, Q₁ a 20 e Q₃ a 60. Il grafico passa per (30; 40), (20; 20) e (40; 60): mediana = 30 minuti, Q₁ = 20 minuti, Q₃ = 40 minuti e differenza interquartile = 40 − 20 = 20 minuti. La tabella dice anche che 80 − 75 = 5 studenti hanno studiato più di 50 minuti.
Con dati non raggruppati, la tabella delle cumulate dà subito la mediana. Animali domestici di 30 studenti: 0 animali: 8, 1: 10, 2: 7, 3: 3, 4: 2. Cumulate: 8, 18, 25, 28, 30. La mediana sta tra il 15° e il 16° dato; entrambi sono nella riga «1 animale» (dati dal 9° al 18°), quindi la mediana è 1 animale.
Errori comuni
- Segnare il punto nel valore centrale della classe. Correzione: la cumulata va nell'estremo superiore. Il valore centrale serve per la media.
- Dimenticare il punto di partenza. Correzione: segna 0 nell'estremo inferiore della prima classe.
- Leggere la mediana all'altezza sbagliata. Correzione: parti da n ÷ 2 sull'asse verticale, non dal centro dell'asse orizzontale.
- Confondere frequenza e frequenza cumulata. Correzione: intesta bene le due colonne; la cumulata non diminuisce mai.
Passo dopo passo
Passo dopo passo
- Aggiungi una colonnaAccanto alle frequenze, scrivi la colonna «frequenza cumulata».
- CumulaCopia la prima frequenza, poi aggiungi ogni nuova frequenza alla cumulata sopra.
- ControllaL'ultima cumulata deve essere n. Per la relativa cumulata, dividi ogni valore per n.
- DisegnaSegna ogni cumulata nell'estremo superiore della sua classe, aggiungi lo 0 iniziale e unisci i punti.
- LeggiParti da n ÷ 2 per la mediana, da n ÷ 4 e 3n ÷ 4 per i quartili, e scendi sull'asse.
Per tornare indietro si sottrae: la frequenza di una classe è la sua cumulata meno quella precedente.
Esercizi
Frequenza cumulata
Prova ogni esercizio, poi controlla la risposta.
- Le frequenze sono 3, 5, 2 e 6. Scrivi le frequenze cumulate.
Mostra la soluzione
3, 3 + 5 = 8, 8 + 2 = 10, 10 + 6 = 16: 3, 8, 10, 16 - Numeri di scarpe: 36: 4 studenti, 37: 7, 38: 9, 39: 5. Qual è la frequenza cumulata del 38?
Mostra la soluzione
4 + 7 + 9 = 20 - Nell'esercizio 2, quanti studenti ci sono in tutto?
Mostra la soluzione
20 + 5 = 25 (l'ultima cumulata) - Le cumulate sono 5, 12, 20, 26, 30. Qual è la frequenza della terza classe?
Mostra la soluzione
20 − 12 = 8 - Nell'esercizio 4, qual è la frequenza dell'ultima classe?
Mostra la soluzione
30 − 26 = 4 - Un'ogiva rappresenta 60 dati. A quale altezza si legge la mediana?
Mostra la soluzione
60 ÷ 2 = 30 - Per gli stessi 60 dati, a quali altezze si leggono i quartili?
Mostra la soluzione
Q₁ a 60 ÷ 4 = 15, Q₃ a 3 · 60 ÷ 4 = 45 - Q₁ = 24 e Q₃ = 38. Calcola la differenza interquartile.
Mostra la soluzione
38 − 24 = 14 - Punteggi di 25 studenti: 1: 2, 2: 5, 3: 8, 4: 6, 5: 4. Trova la mediana.
Mostra la soluzione
Cumulate: 2, 7, 15, 21, 25. Il 13° dato è nella riga del punteggio 3 (dati dall'8° al 15°): mediana 3 - Nell'esercizio 9, che percentuale ha preso 4 o meno?
Mostra la soluzione
21 ÷ 25 = 0,84 = 84% - Altezze: 140 < h ≤ 150: 5, 150 < h ≤ 160: 15, 160 < h ≤ 170: 12, 170 < h ≤ 180: 8. Quali punti segni?
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Cumulate 5, 20, 32, 40: (140; 0), (150; 5), (160; 20), (170; 32), (180; 40) - Gol in 20 partite: 0 gol: 3, 1: 6, 2: 5, 3: 4, 4: 2. Trova la mediana.
Mostra la soluzione
Cumulate: 3, 9, 14, 18, 20. Il 10° e l'11° dato sono nella riga «2 gol»: mediana 2 gol - Un'ogiva di 40 dati passa per (20; 10), (30; 20) e (40; 30). Stima la mediana e la differenza interquartile.
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Mediana all'altezza 20: 30. Quartili alle altezze 10 e 30: 20 e 40, differenza = 40 − 20 = 20 - Nell'esercizio 13, l'ogiva passa anche per (50; 36). Quanti dati sono maggiori di 50?
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40 − 36 = 4 - 120 studenti hanno fatto una verifica e la cumulata a 60 punti è 90. Che percentuale ha preso 60 punti o meno?
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90 ÷ 120 = 0,75 = 75%
Problemi
La frequenza cumulata nella vita reale
Prova ogni esercizio, poi controlla la risposta.
- Un negozio vende 12 bici lunedì, 15 martedì, 9 mercoledì e 14 giovedì. In quale giorno il totale delle vendite supera 30 per la prima volta?
Mostra la soluzione
Cumulate 12, 27, 36, 50: mercoledì - In una gara, 150 dei 200 corridori hanno finito in meno di 4 ore. Quanti ci hanno messo di più, e che percentuale ha finito in meno di 4 ore?
Mostra la soluzione
200 − 150 = 50 corridori; 150 ÷ 200 = 75% - 80 studenti hanno fatto un esame e 28 hanno preso 50 punti o meno. Per essere promossi serve più di 50. Quanti sono stati promossi?
Mostra la soluzione
80 − 28 = 52 studenti - Le pile della marca A hanno mediana 38 ore e differenza interquartile 9 ore; quelle della marca B mediana 36 ore e differenza 4 ore. Quale marca è più regolare?
Mostra la soluzione
La marca B: la differenza interquartile più piccola indica che la metà centrale delle sue pile dura un tempo più simile. - Pioggia: gennaio 60 mm, febbraio 45 mm, marzo 50 mm, aprile 40 mm. Quanta pioggia è caduta in tutto fino alla fine di aprile?
Mostra la soluzione
60 + 45 + 50 + 40 = 195 mm
Domande frequenti
Qual è la formula della frequenza cumulata?
Si sommano tutte le frequenze fino al valore considerato: F₁ = f₁, F₂ = f₁ + f₂, e così via, cioè Fᵢ = Fᵢ₋₁ + fᵢ. La relativa cumulata è Fᵢ ÷ n e la percentuale cumulata è (Fᵢ ÷ n) × 100.
Che differenza c'è tra frequenza cumulata assoluta e relativa?
L'assoluta conta i dati (per esempio 60 studenti), la relativa dà la proporzione (60 su 80 = 0,75, cioè il 75%). L'ultima assoluta cumulata è n, l'ultima relativa cumulata è 1.
Che cos'è la percentuale cumulata?
È la frequenza relativa cumulata scritta in percentuale: dice quale percentuale dei dati è minore o uguale a un valore. Nella tabella dei compiti, il 75% degli studenti ha studiato 40 minuti o meno.
Come si trova la mediana con le frequenze cumulate?
Con dati non raggruppati cerca la prima riga la cui cumulata arriva a n ÷ 2 o lo supera; se n è pari e n ÷ 2 coincide esattamente con una cumulata, la mediana è la media tra quel valore e il successivo. Con dati in classi, leggi l'ogiva all'altezza n ÷ 2.
Come si calcola la frequenza cumulata su Excel?
Se le frequenze sono in B2:B7, scrivi =SOMMA($B$2:B2) in C2 e trascina la formula verso il basso. Il $ blocca l'inizio dell'intervallo mentre la fine scende.
Quiz veloce
Frequenza cumulata
Metti alla prova ciò che sai con 4 domande veloci.
Domanda 1 di 4
Le frequenze assolute di una tabella sono 4, 6 e 5. Qual è l'ultima frequenza cumulata?
Esercitati
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Esercitati sulla frequenza cumulata senza limiti
Schede di statistica
Esercitati passo dopo passo in un corso completo: Matematica · seconda superiore
Per gli adulti
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Gli istogrammi
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Media, mediana e moda
Media, mediana e moda sono tre tipi di valore medio. La media divide il totale in parti uguali, la mediana è il valore centrale in ordine, la moda è il valore più frequente.
Le tabelle di conteggio
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Il poligono delle frequenze
Il poligono delle frequenze è un grafico a linee per dati raggruppati in classi. Si segna la frequenza di ogni classe sopra il suo valore centrale e si uniscono i punti con segmenti.
Quartili e scarto interquartile
I quartili dividono i dati ordinati in quattro parti uguali. Lo scarto interquartile è il terzo quartile meno il primo, Q₃ − Q₁: la dispersione della metà centrale dei dati.
Frequenza relativa
La frequenza relativa è la frequenza assoluta divisa per il numero totale di dati. Se 6 alunni su 20 vanno a scuola a piedi, la frequenza relativa è 6/20 = 0,3, cioè il 30%.