Che cosa sono i quartili e come si calcola lo scarto interquartile?

Metti in fila undici studenti in ordine di voto in una verifica, dal più basso al più alto. Chi sta in mezzo ha la mediana. Se dividi a metà anche ciascuna delle due metà, ottieni tre punti di taglio:

• Q₁, il primo quartile (quartile inferiore): un quarto dei dati sta sotto. È anche il 25° percentile.
• Q₂, il secondo quartile: è la mediana; metà dei dati sta sotto.
• Q₃, il terzo quartile (quartile superiore): tre quarti dei dati stanno sotto. È il 75° percentile.

Lo scarto interquartile (detto anche differenza interquartile o range interquartile, in inglese interquartile range, IQR) misura quanto è sparpagliata la metà centrale dei dati:

Scarto interquartile = terzo quartile − primo quartile = Q₃ − Q₁

Ha la stessa unità di misura dei dati: se sono voti, è in punti; se sono minuti, in minuti.

Perché non usare semplicemente il campo di variazione (massimo − minimo)? Perché dipende dai due valori più estremi, e un solo valore molto diverso dagli altri, un valore anomalo (outlier), può renderlo enorme. Lo scarto interquartile scarta il quarto più basso e quello più alto, e mostra quanto sono vicini tra loro i valori tipici. Scarto piccolo: la metà centrale è omogenea. Scarto grande: è molto dispersa.

Il metodo più usato (il "metodo delle due metà"):

1. Ordina i dati e trova la mediana.
2. La metà inferiore sono i valori sotto la mediana; Q₁ è la sua mediana.
3. La metà superiore sono i valori sopra la mediana; Q₃ è la sua mediana.

Se i dati sono in numero dispari, la mediana non entra in nessuna delle due metà. Alcuni libri usano invece le posizioni (per esempio n/4 e 3n/4, con una regola di arrotondamento). Con 7, 11, 15, 19… dati questi due metodi coincidono (le funzioni dei fogli di calcolo come QUARTILE possono comunque dare valori diversi); con altri numeri di dati possono dare risultati un po' diversi, quindi segui il metodo del tuo insegnante.

Con il minimo e il massimo, i quartili formano il riassunto a cinque numeri del box plot (diagramma a scatola e baffi). La scatola va da Q₁ a Q₃, quindi la lunghezza della scatola è lo scarto interquartile. Con molti dati o dati raggruppati in classi, i quartili si leggono con le frequenze cumulate nelle posizioni n/4 e 3n/4. La mediana è spiegata in media, mediana e moda, e un indice di dispersione che usa tutti i valori è la deviazione standard.

Per riconoscere i valori anomali si usa spesso questa regola: un valore è anomalo se sta più di 1,5 · (Q₃ − Q₁) sotto Q₁ o sopra Q₃.

Qual è la formula dello scarto interquartile?#

Scarto interquartile = Q₃ − Q₁, il terzo quartile meno il primo. Prima si trovano i quartili, poi si sottrae.

A che cosa serve lo scarto interquartile?#

Dice quanto è dispersa la metà centrale (il 50%) dei dati. Se due classi hanno la stessa mediana ma scarti diversi, quella con lo scarto più piccolo ha risultati più simili tra loro.

Come si legge lo scarto interquartile in un box plot?#

È la lunghezza della scatola: leggi il valore del lato destro (Q₃) e quello del lato sinistro (Q₁) e sottrai. La linea dentro la scatola è la mediana, i baffi arrivano al minimo e al massimo.

Come si calcolano i quartili con Excel?#

Excel e Fogli Google hanno una funzione QUARTILE, ma calcola i quartili con un'interpolazione: per gli 11 punteggi sopra dà 26 e 37 invece di 25 e 38. Non è un errore, è una convenzione diversa; nelle verifiche usa il metodo visto in classe.

Come si dice scarto interquartile in inglese?#

Interquartile range, abbreviato IQR. Il primo quartile è il lower quartile e il terzo l'upper quartile.

Che differenza c'è tra quartili, quantili e percentili?#

I quantili dividono i dati ordinati in parti uguali: i quartili in 4, i decili in 10 e i percentili in 100. Q₁ è il 25° percentile, la mediana il 50° e Q₃ il 75°.