Che cos'è la distribuzione binomiale e come si usa la formula?

Una calciatrice segna l'80% dei rigori. Ne tira 5. Qual è la probabilità che ne segni esattamente 4? Ogni rigore è una prova con due esiti: successo (gol) o insuccesso (errore). Una prova così si chiama prova di Bernoulli. Il numero di gol X può valere 0, 1, 2, 3, 4 o 5, e la distribuzione binomiale dà la probabilità di ogni valore. In alcuni libri si chiama anche distribuzione di Bernoulli o bernoulliana; attenzione però: in statistica «distribuzione di Bernoulli» indica di solito il caso di una sola prova, B(1; p).

Si può usare quando valgono quattro condizioni:

• due esiti in ogni prova: successo o insuccesso;
• prove indipendenti: una non influenza le altre;
• un numero fisso di prove n, noto in partenza;
• la stessa probabilità di successo p in ogni prova.

Si scrive X ~ B(n; p): «X segue una distribuzione binomiale di parametri n e p». La formula è

P(X = k) = (n su k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

Ogni parte ha un ruolo. pᵏ è la probabilità dei k successi, (1 − p)ⁿ⁻ᵏ quella degli n − k insuccessi, e il coefficiente binomiale «n su k» conta in quanti ordini diversi possono arrivare quei successi. In 5 rigori con 4 gol, l'errore può essere al 1°, 2°, 3°, 4° o 5° tiro, quindi «5 su 4» = 5. Lo trovi con il tasto nCr della calcolatrice, con il triangolo di Tartaglia o con n! ÷ (k! · (n − k)!).

Quindi P(X = 4) = 5 · 0,8⁴ · 0,2 = 5 · 0,4096 · 0,2 = 0,4096.

Altri tre risultati da sapere:

• Valore atteso (media): μ = np. Su 5 rigori, in media segna 5 · 0,8 = 4 gol.
• Varianza: σ² = np(1 − p), e la deviazione standard è σ = √(np(1 − p)). Vedi deviazione standard.
• Probabilità cumulata: P(X ≤ k) somma P(X = 0) fino a P(X = k). Tabelle e calcolatrici la danno direttamente.

La distribuzione binomiale è discreta: X assume solo valori interi da 0 a n. È simmetrica quando p = 0,5, asimmetrica verso destra quando p è piccolo e verso sinistra quando p è vicino a 1. Quando n è grande e p non è troppo vicino a 0 o a 1, la sua forma si avvicina alla campana della distribuzione normale.

Quando usare la distribuzione binomiale?#

Quando conti i successi in prove ripetute con due esiti e valgono le quattro condizioni: gol su rigori, pezzi difettosi in un lotto, risposte indovinate a caso, pazienti che rispondono a una cura. Le estrazioni con reinserimento sono binomiali; quelle senza, in generale, no.

La distribuzione binomiale è simmetrica?#

Solo quando p = 0,5. Se p < 0,5 è asimmetrica con la coda a destra, se p > 0,5 con la coda a sinistra. Più n cresce, più diventa simile a una campana.

Come si calcola la distribuzione binomiale?#

Calcola il coefficiente binomiale «n su k», moltiplicalo per pᵏ e per (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Per probabilità come «al massimo k» somma i singoli valori, oppure usa una tabella cumulata o la calcolatrice.

La distribuzione binomiale è discreta o continua?#

Discreta: X conta successi e vale solo 0, 1, 2… fino a n. La distribuzione normale, invece, è continua.

Come si calcola la binomiale con Excel?#

=DISTRIB.BINOM.N(k; n; p; FALSO) dà P(X = k) e =DISTRIB.BINOM.N(k; n; p; VERO) dà P(X ≤ k). Per esempio, =DISTRIB.BINOM.N(4; 5; 0,8; FALSO) dà 0,4096.