Comment calculer le volume d'un cône et d'une sphère ?

Le volume, c'est la place qu'occupe un solide ; il se mesure en unités de volume comme le cm³ ou le m³ (voir le volume). Pour un cylindre, c'est simple : aire de la base × hauteur, soit πr²h. Le cône et la boule demandent un peu plus de travail, mais chacun a une formule courte.

Volume d'un cône de révolution : V = ⅓πr²h

Ici r est le rayon du disque de base et h la hauteur : la distance entre le sommet et le centre de la base, mesurée à la verticale. La formule dit : calcule l'aire du disque de base, πr², multiplie par la hauteur, puis divise par 3. Pourquoi un tiers ? Si on remplit d'eau un cône et qu'on la verse dans un cylindre de même base et de même hauteur, il faut exactement trois cônes pour le remplir. C'est la même chose pour une pyramide : V = (aire de la base × hauteur) ÷ 3.

Volume d'une boule : V = ⁴⁄₃πr³

En toute rigueur, la sphère est la surface (la « peau ») et la boule est le solide plein : on calcule donc le volume de la boule, même si l'on dit souvent « volume d'une sphère ». Ici r est le rayon. Le savant grec Archimède a découvert qu'une boule occupe exactement les deux tiers du cylindre qui l'entoure (rayon r, hauteur 2r). Ce cylindre a pour volume πr² × 2r = 2πr³, et les deux tiers de 2πr³ font ⁴⁄₃πr³. Une demi-boule en vaut la moitié : ⅔πr³.

Il existe un joli lien entre les trois solides. Prends un cône, une boule et un cylindre de rayon r et de hauteur 2r. Leurs volumes valent ⅔πr³, ⁴⁄₃πr³ et 2πr³ : ils sont dans le rapport 1 : 2 : 3.

Deux points de vigilance. Les deux formules utilisent le rayon : si on te donne le diamètre, divise-le d'abord par 2. Et comme le rayon de la boule est au cube, une petite variation de r change beaucoup le volume : si le rayon double, le volume est multiplié par 2³ = 8. Tu peux donner la valeur exacte « en fonction de π » (36π cm³) ou une valeur approchée à la calculatrice (113,1 cm³).

Dans l'autre sens : pour retrouver le rayon d'une boule à partir de son volume, on isole r³ = 3V ÷ (4π) puis on prend la racine cubique. Pour un cône, h = 3V ÷ (πr²).

Quelle est la formule du volume d'un cône ?#

V = ⅓πr²h, ou encore V = (aire de la base × hauteur) ÷ 3, avec r le rayon de la base et h la hauteur. C'est le tiers du volume du cylindre de même base et de même hauteur.

C'est quoi la formule du volume d'une sphère (d'une boule) ?#

V = ⁴⁄₃πr³, avec r le rayon. On élève le rayon au cube, on multiplie par π et par 4, puis on divise par 3. Avec le diamètre d : V = πd³ ÷ 6.

Comment calculer le volume d'un cône en cm³ ?#

Exprime le rayon et la hauteur en centimètres, puis applique V = ⅓πr²h : le résultat est en cm³. Si les longueurs sont en mètres, le résultat est en m³ (1 m³ = 1 000 000 cm³).

Pourquoi divise-t-on par 3 le volume d'un cône ?#

Parce qu'un cône occupe exactement le tiers du cylindre de même base et de même hauteur. On le vérifie avec de l'eau ou du riz ; la démonstration se fait en comparant des tranches, ou plus tard avec les intégrales.

Comment calculer le volume d'un cône tronqué ?#

On calcule le volume du grand cône et on retire celui du petit cône enlevé. Il existe aussi une formule : V = ⅓πh(R² + Rr + r²), où R et r sont les rayons des deux bases et h la hauteur du tronc.

Comment calculer le volume d'une sphère creuse ?#

On retire la boule intérieure de la boule extérieure : V = ⁴⁄₃π(R³ − r³). Avec R = 5 cm et r = 4 cm, on trouve environ 255,5 cm³.

Quelle est la différence entre une sphère et une boule ?#

La sphère est la surface, comme l'enveloppe d'un ballon ; la boule est le solide plein, intérieur compris. Le volume ⁴⁄₃πr³ est donc celui de la boule, et l'aire 4πr² celle de la sphère.