C'est quoi un vecteur en maths, et comment additionner des vecteurs ?

Certaines grandeurs se décrivent avec un seul nombre : une masse de 5 kg, une température de 18 °C, une durée de 3 minutes. Ce sont des grandeurs scalaires. D'autres n'ont aucun sens sans direction : « marche 3 km » ne dit pas où tu arrives, « marche 3 km vers l'est » si. Ce sont des grandeurs vectorielles : le déplacement, la vitesse, l'accélération, la force. C'est pour cela que les vecteurs servent partout en physique, par exemple pour décrire un mouvement ou piloter un drone.

Un vecteur se dessine par une flèche et il est défini par trois choses :

• sa direction : la droite qui porte la flèche ;
• son sens : le côté vers lequel pointe la flèche sur cette droite ;
• sa norme : la longueur de la flèche, notée ‖u‖.

Le vecteur qui va de A vers B s'écrit AB avec une flèche au-dessus. C'est le vecteur de la translation qui envoie A sur B (voir les transformations). Dans un repère, il a deux coordonnées : le déplacement horizontal puis le déplacement vertical. Avec A(1 ; 2) et B(4 ; 6), on fait 3 vers la droite et 4 vers le haut, donc AB a pour coordonnées (3 ; 4). En classe, on les écrit en colonne, 3 au-dessus de 4 ; ici, on les écrit sur une ligne. La règle : coordonnées de l'extrémité moins coordonnées de l'origine, (4 − 1 ; 6 − 2).

Les calculs se font coordonnée par coordonnée :

• Additionner : (3 ; 4) + (1 ; −2) = (4 ; 2). Sur un dessin, on place les flèches bout à bout. C'est la relation de Chasles : AB + BC = AC.
• Soustraire : (3 ; 4) − (1 ; −2) = (2 ; 6). Soustraire v, c'est ajouter son opposé −v : même direction, même norme, sens contraire.
• Multiplier par un réel : 2 × (3 ; 4) = (6 ; 8). La flèche devient deux fois plus longue et garde sa direction. Un réel négatif change le sens.
• Norme : celle de (x ; y) vaut √(x² + y²), d'après le théorème de Pythagore (dans un repère orthonormé). La norme de (3 ; 4) est √(9 + 16) = 5.

Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre. Au lycée, on le vérifie avec le déterminant : u(x ; y) et v(x' ; y') sont colinéaires si et seulement si xy' − yx' = 0. Par exemple (2 ; 3) et (6 ; 9) : 2 × 9 − 3 × 6 = 18 − 18 = 0. Trois points A, B, C sont alignés si AB et AC sont colinéaires. Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul : xx' + yy' = 0.

Un vecteur unitaire a une norme égale à 1 : on l'obtient en divisant un vecteur par sa norme. Si OA = a et OB = b, alors AB = b − a, et le milieu de [AB] a pour vecteur position ½(a + b). Dans l'espace, un vecteur a trois coordonnées (x ; y ; z) et sa norme vaut √(x² + y² + z²).

C'est quoi un vecteur, en définition simple ?#

Un objet défini par une direction, un sens et une norme. On le représente par une flèche ; deux flèches de même direction, même sens et même longueur représentent le même vecteur, où qu'elles soient.

Comment additionner deux vecteurs ?#

On additionne les coordonnées : (2 ; 5) + (3 ; −1) = (5 ; 4). Sur un dessin, on met les flèches bout à bout (relation de Chasles) ou on construit un parallélogramme.

Comment montrer que deux vecteurs sont colinéaires ?#

On calcule le déterminant xy' − yx'. S'il vaut 0, ils sont colinéaires. On peut aussi trouver un réel k tel que v = k × u.

Quand deux vecteurs sont-ils orthogonaux ?#

Quand leur produit scalaire est nul : xx' + yy' = 0. Par exemple (2 ; 3) et (3 ; −2) donnent 6 − 6 = 0.

Peut-on multiplier deux vecteurs ?#

Pas comme deux nombres. Le produit scalaire de deux vecteurs donne un nombre, xx' + yy' dans un repère orthonormé ; on le découvre en première.

C'est quoi un vecteur directeur ?#

Un vecteur non nul colinéaire à une droite : il indique sa direction. Pour la droite qui passe par A(1 ; 2) et B(4 ; 6), AB = (3 ; 4) est un vecteur directeur.

Que veut dire « vecteurs coplanaires » ?#

Dans l'espace, des vecteurs sont coplanaires si on peut les représenter dans un même plan, par exemple quand l'un s'écrit comme une combinaison des deux autres. C'est une notion de terminale.