Mathématiques
C'est quoi une matrice en maths, et comment multiplier deux matrices ?
Réponse rapide
Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres rangés en lignes et en colonnes. On additionne terme à terme et on multiplie ligne par colonne, seulement si les tailles sont compatibles.
En une phrase
Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres rangés en lignes et en colonnes, que l'on écrit entre parenthèses et que l'on nomme avec une lettre majuscule.
Explication
Une matrice permet de ranger beaucoup de nombres d'un coup. Un classement de championnat ou les pixels d'une image sont des tableaux de nombres. Dans ton manuel, les matrices sont écrites entre grandes parenthèses ; ici, on les écrit sur une seule ligne, ligne par ligne, avec un point-virgule entre les lignes : [1 2 3; 4 5 6] veut dire que la première ligne est 1 2 3 et la deuxième 4 5 6.
La taille (ou dimension) d'une matrice est lignes × colonnes. [1 2 3; 4 5 6] a 2 lignes et 3 colonnes : c'est une matrice 2 × 3 (« deux lignes, trois colonnes »). Chaque nombre est un coefficient. Le coefficient de la ligne i et de la colonne j se note aᵢⱼ ; ici a₂₁ = 4 et a₁₃ = 3.
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Quelques matrices ont un nom :
- Matrice ligne : une seule ligne, comme [3 1 4]. Matrice colonne : une seule colonne, comme [2; 5].
- Matrice carrée : autant de lignes que de colonnes (2 × 2, 3 × 3…).
- Matrice nulle : tous les coefficients valent 0.
- Matrice identité I : des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs, comme [1 0; 0 1]. Elle joue le rôle du nombre 1 : AI = IA = A.
Additionner et soustraire. On ne peut additionner que deux matrices de même taille, en additionnant les coefficients placés au même endroit : [1 2; 3 4] + [5 0; −1 2] = [6 2; 2 6]. Multiplier par un réel multiplie chaque coefficient : 3 × [2 −1; 0 4] = [6 −3; 0 12].
Multiplier deux matrices, c'est autre chose. Pour obtenir un coefficient de AB, on prend une ligne de A et une colonne de B, on multiplie les nombres deux à deux et on additionne. La ligne 1 avec la colonne 1 donne le coefficient ligne 1, colonne 1, et ainsi de suite. Comment savoir si le produit est possible ? Il faut que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B. Une 2 × 3 fois une 3 × 2, c'est possible (les nombres « du milieu », 3 et 3, sont égaux) et le résultat est 2 × 2 (les nombres « extérieurs »).
L'ordre compte : en général AB ≠ BA, le produit matriciel n'est pas commutatif. Il est en revanche associatif : pour le produit de 3 matrices, (AB)C = A(BC), on peut commencer par le produit qu'on veut, sans changer l'ordre.
Pour une matrice 2 × 2 [a b; c d], le déterminant vaut ad − bc. S'il est non nul, la matrice est inversible et son inverse A⁻¹ vérifie AA⁻¹ = I :
A⁻¹ = (1 / (ad − bc)) × [d −b; −c a]
On échange a et d, on change le signe de b et c, puis on divise par le déterminant. L'inverse permet de résoudre un système d'équations d'un seul coup. Les matrices servent aussi à déplacer des figures : [0 −1; 1 0] fait tourner chaque point de 90° dans le sens direct, d'où le lien avec les transformations et les vecteurs. Les images de synthèse et l'intelligence artificielle reposent sur d'énormes quantités de produits de matrices.
Exemples
Exemple détaillé : calculer AB avec A = [1 2; 3 4] et B = [5 6; 7 8]. Les deux sont 2 × 2, donc AB est 2 × 2.
| Coefficient de AB | Ligne de A × colonne de B | Valeur |
|---|---|---|
| ligne 1, colonne 1 | 1 × 5 + 2 × 7 | 19 |
| ligne 1, colonne 2 | 1 × 6 + 2 × 8 | 22 |
| ligne 2, colonne 1 | 3 × 5 + 4 × 7 | 43 |
| ligne 2, colonne 2 | 3 × 6 + 4 × 8 | 50 |
Donc AB = [19 22; 43 50]. Dans l'autre ordre, BA = [23 34; 31 46] : c'est différent.
Autres exemples :
- 2 × 2 fois 2 × 1 : [2 1; 0 3] × [4; 5] = [2 × 4 + 1 × 5; 0 × 4 + 3 × 5] = [13; 15].
- 3 × 3 fois 3 × 1 : [1 0 2; 0 1 0; 3 0 1] × [1; 2; 3] = [1 + 0 + 6; 0 + 2 + 0; 3 + 0 + 3] = [7; 2; 6].
- Déterminant : [5 2; 3 4] a pour déterminant 5 × 4 − 2 × 3 = 14.
Erreurs fréquentes
- Multiplier terme à terme. [1 2; 3 4] × [5 6; 7 8] n'est pas [5 12; 21 32]. Correction : toujours ligne par colonne, puis on additionne.
- Inverser l'ordre. AB et BA sont en général différentes. Garde l'ordre de l'énoncé.
- Multiplier des tailles incompatibles. Écris les tailles côte à côte, (3 × 2)(3 × 2) : les nombres du milieu, 2 et 3, sont différents, donc le produit n'existe pas.
- Se tromper de signes dans l'inverse. Pour [a b; c d], on échange a et d, mais b et c changent seulement de signe. Puis on divise par ad − bc, pas par ad + bc.
Étape par étape
Étape par étape
- Vérifie les taillesÉcris (2 × 3)(3 × 2). Si les nombres du milieu sont égaux, le produit existe ; ceux de l'extérieur donnent sa taille.
- Prépare le résultatDessine une matrice vide de cette taille pour savoir combien de coefficients calculer.
- Ligne fois colonnePour le coefficient ligne i, colonne j, prends la ligne i de la première matrice et la colonne j de la seconde.
- Multiplie et additionnePremier avec premier, deuxième avec deuxième, etc., puis additionne les produits.
- Complète et vérifieRemplis tous les coefficients, refais un calcul et surveille les signes moins.
Avec la calculatrice : la plupart des modèles du lycée ont un menu « Matrices » où l'on saisit A et B puis on calcule A × B ; en Python avec NumPy, A @ B fait le produit. Pratique pour vérifier, mais il faut savoir poser le calcul.
Exercices
Exercices sur les matrices
Fais chaque exercice, puis vérifie ta réponse.
- Quelle est la taille de [1 2 3; 4 5 6] ?
Voir la réponse
2 lignes et 3 colonnes : 2 × 3 - Dans A = [4 7; −2 5], que vaut a₂₁ ?
Voir la réponse
Ligne 2, colonne 1 : −2 - Calcule [1 2; 3 4] + [5 0; −1 2].
Voir la réponse
On additionne terme à terme : [6 2; 2 6] - Calcule [7 3; 5 −1] − [2 4; 5 −3].
Voir la réponse
7 − 2, 3 − 4, 5 − 5, −1 − (−3) : [5 −1; 0 2] - Calcule 3 × [2 −1; 0 4].
Voir la réponse
On multiplie chaque coefficient par 3 : [6 −3; 0 12] - Peut-on additionner une matrice 2 × 3 et une matrice 3 × 2 ?
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Non : on n'additionne que des matrices de même taille. - Calcule [2 1; 0 3] × [4; 5].
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[2 × 4 + 1 × 5; 0 × 4 + 3 × 5] = [13; 15] - Calcule [1 2; 3 4] × [2 0; 1 3].
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[1 × 2 + 2 × 1, 1 × 0 + 2 × 3; 3 × 2 + 4 × 1, 3 × 0 + 4 × 3] = [4 6; 10 12] - Calcule [2 0; 1 3] × [1 2; 3 4]. Obtient-on le même résultat qu'à l'exercice 8 ?
Voir la réponse
[2 + 0, 4 + 0; 1 + 9, 2 + 12] = [2 4; 10 14] : non, on avait [4 6; 10 12], l'ordre compte. - A est 2 × 3 et B est 3 × 4. Quelle est la taille de AB ?
Voir la réponse
Les nombres du milieu sont égaux (3 et 3) : 2 × 4 - A est 3 × 2 et B est 3 × 2. Le produit AB existe-t-il ?
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A a 2 colonnes mais B a 3 lignes : non. - Calcule [1 2 3] × [4; 5; 6].
Voir la réponse
1 × 4 + 2 × 5 + 3 × 6 = 4 + 10 + 18 = [32] - Calcule le déterminant de [5 2; 3 4].
Voir la réponse
5 × 4 − 2 × 3 = 20 − 6 = 14 - Calcule le déterminant de [3 6; 1 2]. La matrice est-elle inversible ?
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3 × 2 − 6 × 1 = 0, donc elle n'est pas inversible. - Calcule l'inverse de [4 7; 2 6].
Voir la réponse
Déterminant = 24 − 14 = 10. Inverse = (1/10) × [6 −7; −2 4] = [0,6 −0,7; −0,2 0,4] - Calcule [1 0; 0 1] × [3 −2; 5 7].
Voir la réponse
La matrice identité ne change rien : [3 −2; 5 7]
Problèmes
Les matrices dans la vie réelle
Fais chaque exercice, puis vérifie ta réponse.
- Un café vend le jus 2 € et le sandwich 5 €. Lundi, il a vendu 3 jus et 2 sandwichs ; mardi, 1 jus et 4 sandwichs. Calcule [3 2; 1 4] × [2; 5] pour trouver la recette de chaque jour.
Voir la réponse
[3 × 2 + 2 × 5; 1 × 2 + 4 × 5] = [16; 22] : lundi 16 €, mardi 22 € - Un championnat donne 3 points pour une victoire, 1 pour un nul, 0 pour une défaite. L'équipe A a 5 victoires, 2 nuls, 1 défaite ; l'équipe B, 4 victoires, 4 nuls, 0 défaite. Calcule [5 2 1; 4 4 0] × [3; 1; 0].
Voir la réponse
[15 + 2 + 0; 12 + 4 + 0] = [17; 16] : A a 17 points, B en a 16 - La matrice [0 −1; 1 0] fait tourner les points de 90° dans le sens direct autour de l'origine. Où va le point (3 ; 1) ?
Voir la réponse
[0 × 3 + (−1) × 1; 1 × 3 + 0 × 1] = [−1; 3] : (−1 ; 3) - La matrice [1 0; 0 −1] est la symétrie par rapport à l'axe des abscisses. Où va (4 ; 2) ?
Voir la réponse
[1 × 4 + 0 × 2; 0 × 4 + (−1) × 2] = [4; −2] : (4 ; −2) - Résous le système 2x + y = 5, x + 3y = 10 avec les matrices.
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A = [2 1; 1 3], déterminant 6 − 1 = 5, A⁻¹ = (1/5) × [3 −1; −1 2]. Alors [x; y] = (1/5) × [3 × 5 − 1 × 10; −1 × 5 + 2 × 10] = (1/5) × [5; 15] : x = 1, y = 3
Questions fréquentes
C'est quoi une matrice, en simple ?
Un tableau rectangulaire de nombres rangés en lignes et en colonnes, écrit entre parenthèses. Une matrice 2 × 3 a 2 lignes et 3 colonnes.
Comment multiplier deux matrices ?
Chaque coefficient du résultat est une ligne de la première matrice fois une colonne de la seconde : on multiplie deux à deux et on additionne. C'est possible seulement si le nombre de colonnes de la première est égal au nombre de lignes de la seconde.
Comment savoir si le produit de deux matrices est possible ?
Écris les tailles : (n × p)(p × q). Si les deux nombres du milieu sont égaux, le produit existe et sa taille est n × q. Sinon, il n'existe pas.
Comment multiplier deux matrices 3 × 3 ?
Comme pour les 2 × 2 : chacun des 9 coefficients est une ligne fois une colonne, avec trois produits à additionner. Par exemple, la ligne [1 0 2] avec la colonne [1; 2; 3] donne 1 + 0 + 6 = 7.
C'est quoi une matrice inversible ?
Une matrice carrée A pour laquelle il existe B avec AB = BA = I. Pour une 2 × 2, c'est le cas exactement quand le déterminant ad − bc n'est pas nul.
C'est quoi la matrice identité ?
La matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs, notée I (ou Iₙ). Elle ne change rien : AI = IA = A.
Mini-quiz
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Question 1 sur 5
Une matrice a 3 lignes et 2 colonnes. Quelle est sa taille ?
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