Qu'est-ce qu'un système d'équations et comment le résoudre ?

Une seule équation à deux inconnues, comme x + y = 10, a une infinité de solutions : 1 et 9, 4 et 6, 2,5 et 7,5. Ajoute un deuxième indice, x − y = 4, et un seul couple convient aux deux : x = 7 et y = 3. C'est toute l'idée. Chaque équation est un indice, et il faut autant d'indices que d'inconnues.

On écrit le système avec une grande accolade qui regroupe les équations. Le plus courant est le système de deux équations du premier degré à deux inconnues. La solution s'écrit comme un couple, ici (7 ; 3).

Il y a trois méthodes principales.

Par substitution. On isole une inconnue dans une équation, puis on la remplace dans l'autre. Avec y = 3x et x + y = 8 : x + 3x = 8, donc 4x = 8, x = 2 et y = 6.

Par combinaison (ou par addition). On additionne ou on soustrait les équations pour faire disparaître une inconnue. Avec 2p + b = 130 et p + b = 80 (prix en centimes), on soustrait : p = 50, puis b = 30. La pomme coûte 0,50 € et la banane 0,30 €. Si les coefficients ne sont pas égaux, on multiplie d'abord une équation entière.

Graphiquement. Chaque équation du premier degré correspond à une droite. La solution est le point d'intersection. y = x + 1 et y = −x + 5 se coupent en (2 ; 3). C'est très parlant, mais la lecture n'est pas toujours précise : on termine par le calcul.

Deux droites peuvent aussi être parallèles (même coefficient directeur : aucune solution) ou confondues (la même droite : une infinité de solutions). Pour bien démarrer, il faut savoir résoudre une équation du premier degré et placer des points avec leurs coordonnées.

Ce sont les étapes de la méthode par combinaison. Par substitution, les étapes 2 et 3 deviennent : isoler une inconnue, puis la remplacer dans l'autre équation.

C'est quoi un système d'équations ?#

C'est un ensemble d'équations avec les mêmes inconnues, qui doivent être vraies en même temps. La solution d'un système de deux équations à deux inconnues est un couple (x ; y).

Comment résoudre un système d'équations à 2 inconnues ?#

Par substitution (isoler une inconnue et la remplacer dans l'autre équation) ou par combinaison (additionner ou soustraire les équations pour éliminer une inconnue). Vérifie toujours le couple obtenu dans les deux équations.

Quelle méthode choisir ?#

Si une équation donne déjà « y = … » ou « x = … », la substitution est rapide. Sinon, la combinaison évite les fractions. Les deux donnent la même solution.

Un système peut-il n'avoir aucune solution ?#

Oui : si les deux droites sont parallèles, aucun couple ne convient. Si elles sont confondues, il y en a une infinité.

Comment résoudre un système à trois inconnues ?#

Il faut trois équations. On élimine la même inconnue deux fois pour obtenir un système de deux équations à deux inconnues, puis on remonte. Plus tard, on apprend la méthode du pivot de Gauss et les matrices.

Comment écrire un système d'équations sur Word ou en LaTeX ?#

Dans Word, l'éditeur d'équations propose une accolade avec plusieurs lignes. En LaTeX, on utilise par exemple l'environnement cases : \begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases}.