Mathématiques
Que sont des triangles semblables, et comment calculer une longueur manquante ?
Réponse rapide
Deux triangles semblables ont la même forme mais pas forcément la même taille. Leurs angles sont égaux deux à deux et les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles.
En une phrase
Deux triangles sont semblables quand l'un est un agrandissement (ou une réduction) exact de l'autre : mêmes angles, côtés proportionnels.
Explication
Prends en photo un triangle avec ton téléphone et zoome. Le triangle grandit, mais sa forme ne change pas : les angles restent les mêmes et tous les côtés sont multipliés par le même nombre. Le triangle zoomé et l'original sont semblables. On en trouve partout : un arbre et son ombre, une rampe et ses supports, un plan et le terrain réel.
arbre
soleil
règle
Deux triangles sont semblables quand :
- leurs angles sont égaux deux à deux, et
- les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles.
Le coefficient de proportionnalité s'appelle le rapport d'agrandissement ou de réduction, souvent noté k. Si ABC et DEF sont semblables, avec A associé à D, B à E et C à F (on dit que ce sont des sommets homologues), alors
DE ÷ AB = EF ÷ BC = DF ÷ AC = k
C'est « la formule » des triangles semblables : une fraction par paire de côtés homologues, toutes égales. Au fond, c'est un tableau de proportionnalité, comme pour les ratios. Dans certains livres, on note ABC ~ DEF.
Pour montrer que deux triangles sont semblables, il n'est pas nécessaire de tout vérifier. Au collège, on utilise surtout deux propriétés :
- Deux angles égaux deux à deux suffisent : le troisième est alors égal aussi, puisque la somme des angles d'un triangle vaut 180°.
- Trois longueurs proportionnelles : si les trois rapports de côtés sont égaux, les triangles sont semblables.
On utilise aussi un troisième critère : un angle égal compris entre deux côtés proportionnels.
Une configuration très fréquente est celle d'une droite parallèle à un côté du triangle. Le petit triangle et le grand ont un angle commun, et la parallèle rend les autres angles égaux (angles correspondants). Ils sont donc semblables : c'est la configuration du théorème de Thalès, qui donne directement l'égalité des trois rapports.
Les longueurs sont multipliées par k, mais les aires sont multipliées par k². Si l'on double tous les côtés, l'aire est multipliée par 4, car la base et la hauteur ont toutes deux doublé.
Exemples
| Triangle 1 | Triangle 2 | Vérification | Semblables ? |
|---|---|---|---|
| côtés 3, 4, 5 | côtés 6, 8, 10 | 6/3 = 8/4 = 10/5 = 2 | oui, k = 2 |
| angles 40°, 60° | angles 60°, 80° | troisièmes angles : 80° et 40° | oui (angles) |
| côtés 4, 6, 8 | côtés 6, 9, 13 | 6/4 = 1,5 ; 9/6 = 1,5 ; 13/8 = 1,625 | non |
| côtés 5 et 8, angle de 50° entre eux | côtés 10 et 16, angle de 50° entre eux | 10/5 = 16/8 = 2 | oui (angle compris) |
Calculer une longueur. ABC et DEF sont semblables (A↔D, B↔E, C↔F) avec AB = 4 cm, BC = 6 cm et DE = 10 cm. Le rapport est k = 10 ÷ 4 = 2,5, donc EF = 6 × 2,5 = 15 cm.
Les ombres. Une personne de 1,5 m a une ombre de 2 m. Au même moment, un arbre a une ombre de 12 m. Les rayons du soleil arrivent avec le même angle, donc les triangles sont semblables : hauteur ÷ ombre est la même. Hauteur de l'arbre = 1,5 × 12 ÷ 2 = 9 m.
Erreurs fréquentes
- Associer les mauvais côtés. Correction : associe les côtés selon l'angle qui leur fait face, le plus petit avec le plus petit, le plus grand avec le plus grand. Si un triangle est tourné ou retourné, redessine-les dans le même sens.
- Ajouter au lieu de multiplier. Passer de 4 à 10, c'est « × 2,5 », pas « + 6 ». Tous les côtés sont multipliés par le même rapport.
- Utiliser k pour l'aire. Si k = 3, l'aire est multipliée par 3² = 9, pas par 3.
- Prendre un morceau de côté dans la configuration de Thalès. Compare le petit triangle au grand triangle entier : utilise AB, pas seulement DB.
Étape par étape
Étape par étape
- Montrer que les triangles sont semblablesDeux angles égaux, trois côtés proportionnels, ou une droite parallèle suffisent souvent.
- Repérer les sommets homologuesDécide quel sommet correspond à quel autre. Redessine les deux triangles côte à côte, dans le même sens, si besoin.
- Calculer le rapport kChoisis deux côtés homologues connus : k = nouvelle longueur ÷ longueur de départ.
- Calculer la longueur manquanteMultiplie par k pour passer du petit au grand ; divise par k pour passer du grand au petit.
- VérifierLe grand triangle doit avoir les plus grands côtés, et tous les rapports doivent donner le même k.
On peut aussi écrire une égalité de quotients et faire un produit en croix : si 4/10 = 6/x, alors 4x = 60 et x = 15. C'est le même calcul qu'avec le rapport k.
Exercices
Triangles semblables
Fais chaque exercice, puis vérifie ta réponse.
- Un triangle de côtés 2, 3 et 4 cm est agrandi avec un rapport 3. Quelles sont les nouvelles longueurs ?
Voir la réponse
2 × 3, 3 × 3, 4 × 3 = 6, 9 et 12 cm - Les triangles de côtés 5, 12, 13 et 10, 24, 26 sont-ils semblables ?
Voir la réponse
10/5 = 24/12 = 26/13 = 2 : oui, avec k = 2 - Les triangles de côtés 3, 5, 6 et 6, 10, 11 sont-ils semblables ?
Voir la réponse
6/3 = 2 et 10/5 = 2, mais 11/6 ≈ 1,83 : non - Un triangle a des angles de 50° et 70°, un autre des angles de 70° et 60°. Sont-ils semblables ?
Voir la réponse
Le troisième angle du premier vaut 180° − 50° − 70° = 60°. Les deux ont 50°, 60° et 70° : oui - Un triangle a des angles de 45° et 85°, un autre des angles de 45° et 55°. Sont-ils semblables ?
Voir la réponse
Troisièmes angles : 50° et 80°. Les angles sont 45°, 50°, 85° et 45°, 55°, 80° : non - ABC et PQR sont semblables (A↔P, B↔Q, C↔R), avec AB = 6 cm et PQ = 9 cm. Quel est le rapport d'agrandissement de ABC à PQR ?
Voir la réponse
9 ÷ 6 = 1,5 - Dans les mêmes triangles, BC = 8 cm. Calcule QR.
Voir la réponse
8 × 1,5 = 12 cm - Dans les mêmes triangles, PR = 15 cm. Calcule AC.
Voir la réponse
15 ÷ 1,5 = 10 cm - Deux triangles semblables ont des côtés homologues de 4 cm et 10 cm. Le petit a un périmètre de 15 cm. Quel est le périmètre du grand ?
Voir la réponse
k = 10 ÷ 4 = 2,5, donc 15 × 2,5 = 37,5 cm - Deux triangles semblables sont dans un rapport 3. Le petit a une aire de 5 cm². Quelle est l'aire du grand ?
Voir la réponse
5 × 3² = 45 cm² - Deux triangles semblables ont des aires de 16 cm² et 36 cm². Quel est le rapport de leurs côtés ?
Voir la réponse
√16 : √36 = 4 : 6 = 2 : 3 - Un triangle a deux côtés de 6 cm et 9 cm formant un angle de 40° ; un autre a deux côtés de 4 cm et 6 cm formant aussi un angle de 40°. Sont-ils semblables ?
Voir la réponse
6/4 = 9/6 = 1,5 et l'angle compris est le même : oui - Dans le triangle ABC, D est sur [AB] et E sur [AC], avec (DE) parallèle à (BC). AD = 4 cm, AB = 10 cm et DE = 6 cm. Calcule BC.
Voir la réponse
ADE et ABC sont semblables (Thalès), k = 10 ÷ 4 = 2,5, donc BC = 6 × 2,5 = 15 cm - Dans la même figure, AE = 5 cm. Calcule AC et EC.
Voir la réponse
AC = 5 × 2,5 = 12,5 cm, donc EC = 12,5 − 5 = 7,5 cm - Dans un triangle rectangle, la hauteur issue de l'angle droit coupe l'hypoténuse en segments de 4 cm et 9 cm. Calcule la hauteur h.
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Les deux petits triangles sont semblables : h/4 = 9/h, donc h² = 36 : h = 6 cm
Problèmes
Les triangles semblables dans la vie courante
Fais chaque exercice, puis vérifie ta réponse.
- Une élève de 1,6 m a une ombre de 2 m. Au même moment, un mât a une ombre de 15 m. Quelle est la hauteur du mât ?
Voir la réponse
1,6 ÷ 2 = h ÷ 15, donc h = 1,6 × 15 ÷ 2 = 12 m - Une rampe monte régulièrement. Un support de 0,5 m est placé à 2 m (mesurés au sol) du bas de la rampe, et la rampe se termine à 8 m du bas. À quelle hauteur est le haut ?
Voir la réponse
0,5 ÷ 2 = h ÷ 8, donc h = 2 m - Tu poses un miroir au sol à 10 m d'un immeuble, puis tu recules jusqu'à y voir le haut de l'immeuble. Tu es à 2 m du miroir et tes yeux sont à 1,5 m du sol. Quelle est la hauteur de l'immeuble ?
Voir la réponse
Les angles au miroir sont égaux, donc les triangles sont semblables : h = 1,5 × 10 ÷ 2 = 7,5 m - Une voile triangulaire mesure 6 m de haut pour 4 m de base. Une maquette de bateau a une voile semblable de 30 cm de haut. Quelle est la largeur de sa base ?
Voir la réponse
k = 30 ÷ 600 = 0,05, donc 400 cm × 0,05 = 20 cm - Sur un plan, un jardin triangulaire a des côtés de 3 cm, 4 cm et 5 cm. Le plus petit côté réel mesure 12 m. Calcule le plus grand côté réel et l'aire réelle.
Voir la réponse
k = 1 200 cm ÷ 3 cm = 400, donc le plus grand côté mesure 5 × 400 cm = 20 m. C'est un triangle rectangle de côtés de l'angle droit 12 m et 16 m : aire = ½ × 12 × 16 = 96 m²
Questions fréquentes
C'est quoi, deux triangles semblables ?
Ce sont deux triangles qui ont la même forme, mais pas forcément la même taille : leurs angles sont égaux deux à deux et leurs côtés proportionnels, comme une photo et son agrandissement.
Comment reconnaître deux triangles semblables ?
On vérifie qu'ils ont deux angles égaux deux à deux, ou que les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles (les trois rapports sont égaux). Une seule de ces vérifications suffit.
Comment démontrer que deux triangles sont semblables ?
On écrit : « Les triangles ABC et DEF ont deux angles égaux deux à deux (préciser lesquels), donc ils sont semblables. » Ou bien on calcule les trois rapports de longueurs et on montre qu'ils sont égaux.
Quelle différence entre triangles semblables et triangles isométriques ?
Des triangles semblables ont la même forme ; des triangles isométriques (ou égaux) ont la même forme et la même taille. Ce sont des triangles semblables de rapport 1.
Quel lien avec le théorème de Thalès ?
Quand une droite parallèle à un côté coupe un triangle, elle découpe un petit triangle semblable au grand. Le théorème de Thalès traduit cette similitude par l'égalité de trois rapports de longueurs.
Mini-quiz
Triangles semblables
Vérifie ce que tu sais avec 4 questions rapides.
Question 1 sur 4
Deux triangles ont chacun un angle de 30° et un angle de 70°. Que peut-on dire ?
S’entraîner
À toi de jouer
S'entraîner sur les triangles semblables sans limite
Fiches de géométrie
Entraîne-toi pas à pas dans un cours complet : Maths · 2de
Pour les adultes
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