Mathématiques
Que sont des triangles isométriques, et comment démontrer que deux triangles le sont ?
Réponse rapide
Deux triangles isométriques (ou égaux) ont exactement la même forme et la même taille. Pour le démontrer, trois données bien choisies suffisent : ce sont les cas d'égalité.
En une phrase
Deux triangles sont isométriques (on dit aussi égaux) quand ils sont des copies exactes : chaque côté et chaque angle de l'un a la même mesure qu'un côté et un angle de l'autre.
Explication
Découpe un triangle dans du papier et sers-t'en de gabarit pour en découper un second. Les deux pièces se superposent parfaitement, même s'il faut tourner l'une ou la retourner. Elles sont isométriques : même forme et même taille. « Iso-métrique » veut dire « même mesure ». Une translation, une rotation ou une symétrie conserve les longueurs et les angles : c'est pour cela que ces transformations donnent toujours un triangle isométrique.
ciseaux
règle
crayon
Quand on écrit que ABC et DEF sont isométriques, on précise quels sommets se correspondent (les sommets homologues) : par exemple A↔D, B↔E, C↔F. Alors AB = DE, BC = EF et AC = DF, et les angles en A et D, B et E, C et F sont égaux. Dans les livres anglo-saxons, on voit le symbole ≅.
Un triangle a six éléments (trois côtés, trois angles), mais il n'est pas nécessaire de tout vérifier. Trois données bien choisies suffisent. Ce sont les cas d'égalité (ou cas d'isométrie) :
- Trois côtés : les trois côtés ont la même longueur deux à deux.
- Côté–angle–côté : deux côtés ont la même longueur deux à deux et l'angle compris entre eux a la même mesure.
- Angle–côté–angle : un côté a la même longueur et les deux angles adjacents à ce côté ont la même mesure deux à deux.
Comme la somme des angles vaut 180°, deux angles égaux et un côté homologue égal, même non compris entre eux, suffisent aussi : on se ramène au troisième cas. Et pour deux triangles rectangles, il suffit que les hypoténuses et un côté de l'angle droit aient la même longueur.
Deux combinaisons ne suffisent pas. Trois angles égaux prouvent seulement que les triangles sont semblables : même forme, peut-être pas la même taille. Deux côtés et un angle non compris entre eux peuvent donner deux triangles différents (sauf dans le cas rectangle).
Une fois deux triangles reconnus isométriques, tous leurs éléments homologues sont égaux. C'est ainsi qu'on s'en sert dans les démonstrations, par exemple pour prouver que les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux.
Exemples
| Données égales dans les deux triangles | Cas | Isométriques ? |
|---|---|---|
| côtés de 5, 7 et 8 cm | trois côtés | oui |
| côtés de 6 et 9 cm avec un angle de 50° compris entre eux | côté–angle–côté | oui |
| angles de 40° et 70° adjacents à un côté de 10 cm | angle–côté–angle | oui |
| angles de 30°, 60° et 90°, hypoténuses de 10 cm et 12 cm | aucun | non (seulement semblables) |
| angle droit, hypoténuse de 13 cm, un côté de l'angle droit de 5 cm | cas rectangle | oui (l'autre côté mesure 12 cm dans les deux) |
Une démonstration. Dans le cerf-volant ABCD, AB = AD et CB = CD. Les triangles ABC et ADC sont-ils isométriques ? AB = AD (donnée), CB = CD (donnée) et [AC] est un côté commun. Trois côtés égaux deux à deux : oui. Par conséquent, les angles en B et en D sont égaux.
Erreurs fréquentes
- Se contenter de trois angles égaux. Ils prouvent seulement que les triangles sont semblables. Correction : il faut au moins un côté de même longueur.
- Prendre un angle qui n'est pas compris. Dans le cas côté–angle–côté, l'angle doit être entre les deux côtés. Sinon, la conclusion peut être fausse.
- Mal associer les sommets. Écris les sommets homologues dans le même ordre (A↔D, B↔E, C↔F) en t'appuyant sur les angles égaux.
- Oublier les données « gratuites ». Un côté commun, des angles opposés par le sommet ou des angles alternes-internes avec des parallèles sont égaux sans qu'on te le dise. Cherche-les d'abord.
Étape par étape
Étape par étape
- Coder la figureMets les mêmes codages sur les côtés de même longueur et sur les angles de même mesure donnés par l'énoncé.
- Chercher les données gratuitesCôté commun, angles opposés par le sommet, angles alternes-internes ou correspondants, angle droit.
- Choisir le cas d'égalitéTrois côtés, côté–angle–côté ou angle–côté–angle ? Vérifie que l'angle est bien compris entre les deux côtés.
- RédigerNomme les triangles avec les sommets homologues dans le même ordre, justifie chaque égalité et cite le cas utilisé.
- ConclureLes autres côtés et angles homologues sont alors égaux.
Exercices
Triangles isométriques
Fais chaque exercice, puis vérifie ta réponse.
- Deux triangles équilatéraux ont des côtés de 5 cm. Sont-ils isométriques ?
Voir la réponse
Les trois côtés sont égaux deux à deux : oui (trois côtés) - Deux triangles ont des côtés de 4 cm, 6 cm et 7 cm. Isométriques ? Quel cas ?
Voir la réponse
Oui, trois côtés - Deux triangles ont des côtés de 5 cm et 8 cm formant un angle de 40°. Isométriques ? Quel cas ?
Voir la réponse
Oui, côté–angle–côté - Deux triangles ont des angles de 50° et 60° adjacents à un côté de 9 cm. Isométriques ? Quel cas ?
Voir la réponse
Oui, angle–côté–angle - Deux triangles ont des angles de 35°, 65° et 80°. On ne sait rien des côtés. Sont-ils isométriques ?
Voir la réponse
Pas forcément : trois angles égaux prouvent seulement qu'ils sont semblables. - Deux triangles ont des angles de 40° et 75° et un côté de 6 cm opposé à l'angle de 40°. Isométriques ?
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Oui : le troisième angle mesure 65° dans les deux, on se ramène au cas angle–côté–angle. - Deux triangles rectangles ont une hypoténuse de 10 cm et un côté de l'angle droit de 6 cm. Sont-ils isométriques ? Quelle est la longueur du troisième côté ?
Voir la réponse
Oui (cas rectangle). Troisième côté : √(10² − 6²) = √64 = 8 cm dans les deux. - ABC et PQR sont isométriques (A↔P, B↔Q, C↔R), AB = 7 cm et l'angle en B mesure 48°. Donne PQ et l'angle en Q.
Voir la réponse
PQ = 7 cm et l'angle en Q mesure 48° - ABC et XYZ sont isométriques (A↔X, B↔Y, C↔Z). L'angle en A mesure 52° et l'angle en B 61°. Calcule l'angle en Z.
Voir la réponse
Angle en C : 180° − 52° − 61° = 67°, et Z correspond à C : 67° - KLM et RST sont isométriques (K↔R, L↔S, M↔T), avec KL = 3x + 1 et RS = 13. Calcule x.
Voir la réponse
3x + 1 = 13, donc 3x = 12 : x = 4 - ABC et DEF sont isométriques (A↔D, B↔E, C↔F), avec AB = 5 cm, BC = 6 cm et DF = 4 cm. Calcule le périmètre de DEF.
Voir la réponse
DE = 5, EF = 6, DF = 4 : 15 cm - Deux triangles ont des côtés de 7 cm et 5 cm et un angle de 30° opposé au côté de 5 cm. Sont-ils forcément isométriques ?
Voir la réponse
Non : l'angle n'est pas compris entre les côtés. Deux triangles différents conviennent (l'angle opposé au côté de 7 cm peut mesurer environ 44,4° ou environ 135,6°). - Dans le cerf-volant ABCD, AB = AD et CB = CD. Quel cas montre que ABC et ADC sont isométriques ?
Voir la réponse
AB = AD, CB = CD et [AC] est commun : trois côtés - Les segments [AB] et [CD] se coupent en M, avec AM = MB et CM = MD. Pourquoi AMC et BMD sont-ils isométriques ?
Voir la réponse
AM = MB, CM = MD et les angles en M sont opposés par le sommet : côté–angle–côté - Dans le triangle ABC, AB = AC et M est le milieu de [BC]. Démontre que les angles en B et en C sont égaux.
Voir la réponse
AB = AC, BM = CM et [AM] est commun, donc ABM et ACM sont isométriques (trois côtés). Les angles homologues sont égaux : angle en B = angle en C
Problèmes
Les triangles isométriques dans la vie courante
Fais chaque exercice, puis vérifie ta réponse.
- Deux fermes de charpente sont faites de poutres de 3 m, 3 m et 5 m. Les triangles ont-ils la même forme et la même taille ?
Voir la réponse
Oui (trois côtés). Trois côtés fixés déterminent complètement un triangle : c'est pourquoi les triangles rendent les ponts et les toits indéformables. - Pour mesurer la largeur AB d'un étang, tu vas de A à un point C, puis tu continues de la même distance jusqu'à D ; ensuite tu vas de B en passant par C jusqu'à E, avec CE = BC. Tu mesures DE = 42 m. Quelle est la largeur de l'étang ?
Voir la réponse
AC = CD, BC = CE et les angles en C sont opposés par le sommet, donc ABC et DEC sont isométriques (côté–angle–côté) : AB = DE = 42 m - Deux supports en forme de triangle rectangle sous une rampe ont chacun une hypoténuse de 2,5 m et une hauteur de 0,7 m. Quelle est la longueur de la base de chacun ? Sont-ils isométriques ?
Voir la réponse
Base = √(2,5² − 0,7²) = √5,76 = 2,4 m ; ils sont isométriques (cas rectangle) - On découpe deux fanions triangulaires avec des côtés de 20 cm et 30 cm formant un angle de 40°. Le troisième côté aura-t-il la même longueur ?
Voir la réponse
Oui : les fanions sont isométriques (côté–angle–côté), donc tous leurs éléments homologues sont égaux. - La structure 1 a des angles de 50° et 60° aux extrémités d'une poutre de 8 m. La structure 2 a des angles de 60° et 70° aux extrémités d'une poutre de 8 m. Isométriques ?
Voir la réponse
Les deux ont des angles de 50°, 60° et 70°, mais la poutre de 8 m est opposée à l'angle de 70° dans la première et à celui de 50° dans la seconde : non
Questions fréquentes
C'est quoi, deux triangles isométriques ?
Ce sont deux triangles qui ont la même forme et la même taille : ils sont superposables, après un éventuel déplacement ou retournement. On dit aussi « triangles égaux ».
Quels sont les cas d'égalité des triangles ?
Trois côtés égaux deux à deux ; un angle égal compris entre deux côtés égaux ; un côté égal adjacent à deux angles égaux. Un seul de ces cas suffit.
Pourquoi trois angles égaux ne suffisent-ils pas ?
Parce que des triangles qui ont les mêmes angles peuvent avoir des tailles différentes. Un petit et un grand triangle équilatéral ont trois angles de 60°, mais ils ne sont pas isométriques : ils sont seulement semblables.
Quelle différence entre triangles isométriques et triangles semblables ?
Des triangles isométriques ont la même forme et la même taille ; des triangles semblables ont la même forme, mais pas forcément la même taille. Deux triangles isométriques sont semblables avec un rapport 1.
Triangles isométriques ou triangles égaux : est-ce pareil ?
Oui. Les deux expressions désignent la même chose ; selon les manuels et les pays, on rencontre l'une ou l'autre. En anglais, on dit « congruent triangles ».
Mini-quiz
Triangles isométriques (triangles égaux)
Vérifie ce que tu sais avec 4 questions rapides.
Question 1 sur 4
Deux triangles ont deux côtés de même longueur deux à deux, et l'angle compris entre ces côtés est le même. Quel cas d'égalité s'applique ?
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S'entraîner sur les triangles isométriques sans limite
Fiches de géométrie
Entraîne-toi pas à pas dans un cours complet : Maths · 3e
Pour les adultes
Sujets liés
Les types de triangles
Un triangle a trois côtés et trois angles. Selon ses côtés, il est équilatéral, isocèle ou quelconque ; avec un angle droit, il est rectangle.
Triangles semblables
Deux triangles semblables ont la même forme mais pas forcément la même taille. Leurs angles sont égaux deux à deux et les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles.
Symétrie, rotation et translation
Une transformation déplace une figure sans la déformer. La symétrie axiale la retourne comme dans un miroir, la rotation la fait tourner autour d'un point, la translation la fait glisser.
Les angles
Un angle mesure l'écart entre deux droites qui se rencontrent en un point. On le mesure en degrés (°) : un angle droit fait 90° et un tour complet 360°.
Angles alternes-internes et correspondants
Quand une sécante coupe deux parallèles, les angles alternes-internes et les angles correspondants sont égaux. Deux angles opposés par le sommet sont toujours égaux.
L'aire d'un disque
L'aire d'un disque se calcule avec la formule π × rayon × rayon (π × r²). Un disque de rayon 10 cm a une aire d'environ 314 cm².