C’est quoi la symétrie de rotation, et comment trouver son ordre ?

Plante une épingle au milieu d’un moulin à vent en papier et fais-le tourner. Après un quart de tour, le moulin a exactement le même aspect qu’avant. C’est la symétrie de rotation (on dit aussi symétrie rotationnelle) : la figure se superpose à elle-même après une rotation de moins d’un tour complet. Le point autour duquel elle tourne est le centre de rotation.

L’ordre de la symétrie de rotation est le nombre de fois où la figure redevient identique pendant un tour complet (360°). On compte la position de départ à la fin du tour, mais une seule fois. Un carré se superpose à lui-même après 90°, 180°, 270° et 360° : son ordre est 4.

Toute figure se superpose à elle-même après un tour complet, donc toute figure a au moins l’ordre 1. C’est pourquoi l’ordre 1 signifie qu’il n’y a pas de symétrie de rotation. Il faut un ordre de 2 ou plus.

Quand on connaît l’ordre, on connaît le plus petit angle de rotation :

plus petit angle de rotation = 360° ÷ ordre

Un pentagone régulier a l’ordre 5 : il se superpose à lui-même tous les 360° ÷ 5 = 72°. Cela marche aussi dans l’autre sens : une figure qui se superpose tous les 120° a l’ordre 360 ÷ 120 = 3.

Une symétrie de rotation d’ordre 2, c’est un demi-tour : c’est exactement la symétrie centrale que l’on étudie au collège. Le parallélogramme, par exemple, a un centre de symétrie (le point d’intersection de ses diagonales).

Il ne faut pas la confondre avec la symétrie axiale, où l’on plie la figure le long d’un axe de symétrie pour que les deux moitiés coïncident. Une figure peut avoir l’une sans l’autre : la lettre S a une symétrie de rotation d’ordre 2 mais aucun axe ; un cœur a un axe mais pas de symétrie de rotation. Voir la page symétrie.

Une astuce : si une figure plane a au moins un axe de symétrie, son ordre de symétrie de rotation est égal à son nombre d’axes. Le carré a 4 axes et l’ordre 4 ; le triangle équilatéral, 3 et 3 ; le rectangle, 2 et 2. Tout polygone régulier à n côtés a n axes et l’ordre n. La rotation fait partie des transformations, avec la symétrie et la translation.

Pas de papier calque ? Cherche des parties identiques réparties régulièrement autour du centre, comme les pales d’un ventilateur ou les branches d’une étoile. Une figure faite de 5 branches identiques régulièrement espacées a l’ordre 5.

C’est quoi la symétrie de rotation ?#

Une figure a une symétrie de rotation si elle se superpose exactement à elle-même après une rotation de moins de 360° autour d’un point fixe, son centre. Le nombre de superpositions en un tour complet est son ordre.

Quelle différence entre symétrie, rotation et translation ?#

Ce sont trois transformations. La symétrie axiale retourne la figure comme dans un miroir, la rotation la fait tourner autour d’un point, la translation la fait glisser sans la tourner. Une figure a une « symétrie de rotation » quand une rotation la laisse inchangée.

Combien d’axes de symétrie a un carré, un rectangle, un losange ?#

Un carré a 4 axes (les médiatrices de ses côtés et ses deux diagonales), un rectangle 2 (les médiatrices de ses côtés, pas ses diagonales), un losange 2 (ses diagonales). Leurs ordres de symétrie de rotation sont 4, 2 et 2.

Un triangle a-t-il une symétrie de rotation ?#

Seul le triangle équilatéral : ordre 3, tous les 120°. Il a aussi 3 axes de symétrie. Le triangle isocèle a 1 axe et pas de symétrie de rotation ; le triangle quelconque n’a ni l’un ni l’autre.

Le cercle a-t-il une symétrie de rotation ?#

Oui, d’ordre infini : il reste identique quel que soit l’angle de rotation autour de son centre. Il a aussi une infinité d’axes de symétrie (tous ses diamètres).

C’est quoi l’axe de symétrie d’une parabole ?#

La courbe de f(x) = ax² + bx + c a un axe de symétrie vertical qui passe par son sommet, d’équation x = −b ÷ (2a). Pour f(x) = x² − 6x + 5, c’est la droite x = 3. Une parabole a un axe de symétrie, mais pas de symétrie de rotation. Voir les équations du second degré.