Comment simplifier et réduire une expression littérale ?

Une expression littérale mélange des nombres, des lettres et des opérations, sans signe égal : par exemple 3x + 2y + 5x − y. (Avec un signe égal, ce serait une équation, qu'on résout ; une expression, on la simplifie.) Chaque morceau séparé par + ou − est un terme : ici 3x, 2y, 5x et −y. Le nombre devant la lettre est le coefficient : dans 5x, c'est 5 ; dans −y, c'est −1. En France, on écrit 3x au lieu de 3 × x : on peut supprimer le signe × devant une lettre ou une parenthèse.

Les termes semblables ont exactement les mêmes lettres avec les mêmes puissances. 3x et 5x sont semblables. 4ab et −ba aussi, car ab et ba désignent le même produit. Mais 2x et 2x² ne le sont pas, pas plus que 6 et 6x. On ne peut additionner ou soustraire que des termes semblables, en additionnant ou soustrayant leurs coefficients. C'est ce qu'on appelle réduire :

3x + 5x = 8x et 2y − y = y, donc 3x + 2y + 5x − y = 8x + y.

On compte la même chose : 3 fois x plus 5 fois x, c'est 8 fois x. Mais x et y sont deux nombres inconnus différents, donc 8x + y ne se regroupe pas en un seul terme. Écrire 9xy serait faux.

Le signe appartient au terme qui le suit. Dans 7a − 2b + a, les termes sont 7a, −2b et +a. Quand on les déplace, on emporte leur signe : 7a + a − 2b = 8a − 2b.

Multiplier des termes n'est pas la même chose que les additionner. On multiplie les nombres, puis les lettres, et cette fois on peut multiplier des termes non semblables : 3a × 4b = 12ab ; 2x × 5x = 10x². Quand on multiplie la même lettre, on additionne les exposants : x³ × x² = x⁵ (voir les puissances). Pour diviser, c'est l'inverse : 12ab ÷ 4a = 3b et x⁵ ÷ x² = x³.

Les parenthèses d'abord. Le nombre devant la parenthèse multiplie chaque terme à l'intérieur (distributivité simple, k(a + b) = ka + kb) : 3(x + 4) = 3x + 12. Des parenthèses précédées d'un signe − changent le signe de chaque terme à l'intérieur : −(2y − 5) = −2y + 5. Après avoir développé, on réduit. Les expressions sans lettres, comme 4 + 3 × (6 − 2), se calculent avec les priorités opératoires.

« Simplifier » ne veut jamais dire « trouver x ». S'il n'y a pas de signe égal, ta réponse reste une expression.

C'est quoi, simplifier une expression ?#

C'est écrire la même expression de façon plus courte, avec la même valeur : par exemple, 2x + 3x + 4 devient 5x + 4. On ne cherche pas la valeur de x.

Quelle différence entre réduire, développer et factoriser ?#

Développer, c'est transformer un produit en somme en supprimant les parenthèses : 3(x + 4) = 3x + 12. Réduire, c'est regrouper les termes semblables. Factoriser, c'est l'inverse de développer : 3x + 12 = 3(x + 4).

Comment réduire une expression littérale ?#

Regroupe les termes qui ont les mêmes lettres et les mêmes puissances, puis additionne leurs coefficients. Dans 6a + 2 − 4a + 5, les termes en a donnent 2a et les nombres donnent 7 : la réponse est 2a + 7.

Comment supprimer des parenthèses précédées d'un signe − ?#

On supprime les parenthèses et le signe −, et on change le signe de chaque terme à l'intérieur : 9 − (3x − 4) = 9 − 3x + 4 = 13 − 3x.

Comment simplifier une expression avec des puissances ?#

Pour multiplier des puissances d'une même lettre, on additionne les exposants : a² × a³ = a⁵. Pour diviser, on les soustrait : a⁶ ÷ a² = a⁴. Une puissance de puissance multiplie les exposants : (a²)³ = a⁶.

Comment simplifier une expression avec une fraction ?#

On divise chaque terme du numérateur par le dénominateur : (6x + 9) ÷ 3 = 2x + 3. On ne peut pas simplifier un seul terme : (x + 6) ÷ 3 = x/3 + 2, et non x + 2.

Quelle différence entre simplifier et résoudre ?#

On simplifie une expression (sans signe égal) et on obtient une autre expression. On résout une équation (avec un signe égal) et on obtient une valeur, comme x = 4.