Mathématiques
Qu'est-ce que le patron d'un solide, et comment reconnaître le patron d'un cube ?
Réponse rapide
Le patron d'un solide est la figure plane qui, une fois pliée, forme ce solide. Le patron d'un cube a 6 carrés reliés par leurs côtés, et il existe 11 patrons différents du cube.
En une phrase
Le patron d'un solide, c'est ce que tu obtiens quand tu déplies ce solide à plat : une figure plane qui, repliée, redonne le solide.
Explication
Prends une boîte de céréales vide, décolle doucement les rabats et aplatis-la sur la table. Le morceau de carton que tu tiens est le patron de la boîte. Toutes les faces sont encore là, reliées à leurs voisines par les lignes de pliage. Replie-le et tu retrouves la boîte.
boîte
ciseaux
colle
Les faces d'un polyèdre sont des figures planes, donc son patron est fait de figures planes. Pour savoir à quoi il ressemble, compte les faces du solide et nomme leur forme (voir faces, arêtes et sommets) :
| Solide | Faces du patron |
|---|---|
| Cube | 6 carrés |
| Pavé droit | 6 rectangles, égaux deux à deux |
| Prisme droit à base triangulaire | 2 triangles et 3 rectangles |
| Pyramide à base carrée | 1 carré et 4 triangles |
| Tétraèdre (pyramide à base triangulaire) | 4 triangles |
| Cylindre | 2 disques et 1 rectangle |
| Cône | 1 disque et 1 secteur de disque (une « part de pizza ») |
Un solide peut avoir plusieurs patrons, car on peut l'ouvrir en coupant le long d'arêtes différentes. Le cube a 11 patrons différents. Deux patrons sont considérés comme identiques si l'un est simplement l'autre tourné ou retourné. Un pavé droit dont la longueur, la largeur et la hauteur sont toutes différentes en a 54.
Six carrés ne forment pas toujours un cube. En pliant, deux carrés peuvent tomber sur la même face et laisser un trou ailleurs. Trois vérifications rapides :
- Jamais plus de 4 carrés alignés. Un cinquième carré reviendrait sur le premier.
- Pas de bloc de 2 × 2 carrés. Quatre carrés en bloc ne peuvent pas se replier.
- Deux faces opposées ne se touchent jamais. Dans une rangée de trois carrés, le premier et le troisième se retrouvent face à face.
La boule est l'exception : elle n'a pas de patron. On ne peut pas aplatir une balle sans l'étirer ou la déchirer ; c'est pour cela que toutes les cartes planes de la Terre sont un peu déformées.
Le patron sert aussi à calculer l'aire totale : l'aire du patron est l'aire de toutes les faces du solide.
Exemples
- La croix. Une rangée de 4 carrés avec un carré au-dessus et un carré en dessous du deuxième. C'est le patron du cube le plus connu.
- L'escalier. Des carrés deux par deux : 2, puis 2, puis 2, chaque paire décalée d'un carré. Il forme aussi un cube.
- Le cylindre. Pour une boîte de conserve de 3 cm de rayon et 8 cm de haut, le rectangle mesure 8 cm de haut et autant de long que le périmètre du disque : 2 × π × 3 ≈ 18,8 cm.
- Pas un patron. Six carrés en rectangle de 2 × 3 contiennent des blocs de 2 × 2 : ils ne forment pas un cube.
Erreurs fréquentes
- Se tromper dans le nombre de faces. Un prisme à base triangulaire a 5 faces, pas 6. Solution : compte d'abord les faces du solide, puis dessine.
- Croire que 6 carrés quelconques forment un cube. Solution : cherche une rangée de 5 carrés ou plus, un bloc de 2 × 2, ou deux carrés qui tomberaient sur la même face.
- Dessiner le rectangle du cylindre trop court. Sa longueur doit être égale au périmètre du disque (2πr), sinon les bases ne s'ajustent pas.
- Compter un patron tourné comme un nouveau patron. Solution : découpe-les. Si l'un se pose exactement sur l'autre, c'est le même.
Étape par étape
Étape par étape
- Compte les facesNomme le solide et liste ses faces, par exemple pour le cube : 6 carrés.
- Trace la rangée du milieuÀ la règle, trace une rangée de 4 carrés identiques, par exemple de 5 cm de côté. Ce seront les quatre faces latérales.
- Ajoute le dessus et le dessousTrace un carré au-dessus et un carré en dessous du même carré de la rangée.
- Ajoute les languettesDessine de petites languettes sur 7 des bords extérieurs pour pouvoir coller.
- Découpe, plie et colleDécoupe le contour, plie toutes les lignes dans le même sens et colle les languettes à l'intérieur.
Pourquoi 7 languettes ? Un cube a 12 arêtes. Dans le patron, 5 sont déjà reliées par un pli, donc il reste 12 − 5 = 7 arêtes à coller.
Exercices
Les patrons de solides
Fais chaque exercice, puis vérifie ta réponse.
- Combien de faces y a-t-il dans le patron d'un pavé droit ?
Voir la réponse
Le pavé droit a 6 faces, donc son patron a 6 rectangles. - Quelles figures forment le patron d'un prisme à base triangulaire ?
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2 triangles et 3 rectangles - Quel solide obtient-on avec 4 triangles identiques ?
Voir la réponse
Un tétraèdre (pyramide à base triangulaire) - Un patron a 2 hexagones et 6 rectangles. Quel solide forme-t-il ?
Voir la réponse
Un prisme à base hexagonale - Combien de faces a le patron d'une pyramide à base pentagonale ?
Voir la réponse
1 pentagone + 5 triangles = 6 faces - Six carrés alignés sur une seule rangée : est-ce un patron du cube ?
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Non. Les extrémités se chevaucheraient. Un patron du cube n'a jamais plus de 4 carrés alignés. - Six carrés formant un rectangle de 2 × 3 : est-ce un patron du cube ?
Voir la réponse
Non. Il contient des blocs de 2 × 2, qui ne se replient pas. - Une rangée de 4 carrés avec un carré au-dessus et un carré en dessous du deuxième : est-ce un patron du cube ?
Voir la réponse
Oui, c'est la croix. - Une rangée de 4 carrés avec les deux autres carrés au-dessus de la rangée : est-ce un patron du cube ?
Voir la réponse
Non. Les deux carrés en plus se replient tous les deux sur le dessus, et le dessous manque. - Dans la croix, la rangée est numérotée 1, 2, 3, 4 et les carrés 5 et 6 sont au-dessus et en dessous du 2. Quel carré est opposé au carré 1 ?
Voir la réponse
Dans une rangée, deux carrés séparés par un autre sont opposés : le carré 3. - Le patron d'un cube est fait de carrés de 6 cm de côté. Quelle est son aire ?
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6 × 6 × 6 = 216 cm² - Quelle est l'aire du patron d'un pavé droit de 5 cm × 3 cm × 2 cm ?
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2 × (15 + 10 + 6) = 2 × 31 = 62 cm² - Un cylindre a un rayon de 7 cm. Quelle est la longueur du rectangle de son patron ? Prends π ≈ 3,14.
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2 × 3,14 × 7 = 43,96 cm - Tout patron du cube a 14 côtés sur son contour. Quel est le périmètre d'un patron fait de carrés de 4 cm ?
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14 × 4 = 56 cm
Problèmes
Les patrons dans la vie courante
Fais chaque exercice, puis vérifie ta réponse.
- Tu fabriques une boîte cadeau en forme de cube de 10 cm d'arête. Quelle surface de carton te faut-il, sans les languettes ?
Voir la réponse
6 × 10 × 10 = 600 cm² - Une boîte de mouchoirs mesure 24 cm de long, 12 cm de large et 10 cm de haut. Quelle est l'aire de son patron, sans languettes ?
Voir la réponse
2 × (288 + 240 + 120) = 2 × 648 = 1 296 cm² - Une boîte de conserve a un rayon de 4 cm et une hauteur de 11 cm. Quelles sont les dimensions de l'étiquette en papier qui en fait le tour ? Prends π ≈ 3,14.
Voir la réponse
Longueur : 2 × 3,14 × 4 = 25,12 cm, donc 25,12 cm sur 11 cm (environ 276 cm²). - Sur un dé, deux faces opposées font 7 au total. Dans le patron d'un dé, tu écris 3 à un bout d'une rangée de trois carrés. Que faut-il écrire à l'autre bout ?
Voir la réponse
Les deux bouts d'une rangée de trois sont opposés : 7 − 3 = 4. - Une tente est un prisme à base triangulaire de 2 m de long. Chaque extrémité est un triangle de 1,6 m de base et 0,6 m de haut, et chaque pan incliné mesure 1 m de large. Quelle surface de toile couvre les deux extrémités et les deux pans ?
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Extrémités : 2 × (1,6 × 0,6 ÷ 2) = 0,96 m² ; pans : 2 × 1 × 2 = 4 m² ; total 4,96 m²
Questions fréquentes
C'est quoi, le patron d'un solide ?
C'est la figure plane obtenue en dépliant un solide le long de certaines de ses arêtes. Repliée sur les lignes, elle reforme le solide sans trou ni chevauchement.
C'est quoi, le patron d'un cube ?
C'est un assemblage de 6 carrés identiques, reliés par leurs côtés, qui se replie en cube. Le plus connu est la croix.
Combien de patrons un cube possède-t-il ?
Exactement 11. On ne compte pas une deuxième fois un patron simplement tourné ou retourné.
Comment reconnaître le patron d'un cube ?
Il faut 6 carrés, aucune rangée de plus de 4 et aucun bloc de 2 × 2. Ensuite, imagine le pliage : si deux carrés tombent sur la même face, ce n'est pas un patron. Le découper et le plier reste le test le plus sûr.
Quel est le patron d'une pyramide ou d'un cylindre ?
Une pyramide à base carrée : un carré entouré de 4 triangles. Un cylindre : 2 disques et un rectangle dont la longueur est le périmètre du disque.
La boule a-t-elle un patron ?
Non. Une surface courbe comme celle d'une balle ne peut pas être mise à plat sans être étirée, donc la boule n'a pas de patron exact.
Comment faire le patron d'un cube avec languettes ?
Trace la croix à la règle (une rangée de 4 carrés, plus un au-dessus et un en dessous), ajoute 7 languettes, découpe, plie toutes les lignes et colle les languettes.
Mini-quiz
Le patron d'un solide
Vérifie ce que tu sais avec 4 questions rapides.
Question 1 sur 4
Combien de carrés y a-t-il dans le patron d'un cube ?
S’entraîner
À toi de jouer
S'entraîner sur les patrons et les aires sans limite
Fiches sur les solides
Entraîne-toi pas à pas dans un cours complet : Maths · CM2
Pour les adultes
Sujets liés
Solides (formes 3D)
Les solides, ou formes 3D, ont une longueur, une largeur et une hauteur : cube, boule, cylindre, pyramide. Ils ont des faces, des arêtes et des sommets.
L'aire de la surface d'un solide
L'aire de la surface d'un solide est la somme des aires de toutes ses faces. Un cube d'arête 3 cm a 6 faces de 9 cm², soit 54 cm² au total.
Figures planes (formes 2D)
Les figures planes, ou formes 2D, sont des formes à plat qui ont une longueur et une largeur mais pas d'épaisseur : cercle, triangle, carré, hexagone. On peut les dessiner sur une feuille.
Le volume
Le volume est la quantité d'espace qu'occupe un objet en 3D, mesurée en unités cubes comme les cm³ ou les m³. Une boîte de 4 cm sur 3 cm sur 2 cm a un volume de 24 cm³.
Faces, arêtes et sommets
Les faces sont les surfaces d'un solide, les arêtes sont les segments où deux faces se rejoignent et les sommets sont les coins. Un cube a 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets.
La symétrie
Une figure est symétrique quand une moitié est l'image en miroir de l'autre (symétrie axiale), ou quand elle se superpose à elle-même après une rotation (symétrie de rotation).