Mathématiques
Que sont les faces, les arêtes et les sommets d'un solide, et comment les compter ?
Réponse rapide
Les faces sont les surfaces d'un solide, les arêtes sont les segments où deux faces se rejoignent et les sommets sont les coins. Un cube a 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets.
En une phrase
Une face est une surface d'un solide, une arête est le segment où deux faces se rejoignent, et un sommet est un coin où se rejoignent des arêtes.
Explication
Prends un dé ou une boîte en carton. Les côtés plats sur lesquels tu peux poser la main sont les faces. Passe ton doigt le long du pli où deux faces se touchent : c'est une arête. Arrête-toi sur un coin pointu : c'est un sommet.
boîte
tente
glace
Les faces d'un polyèdre sont des figures planes : celles du cube sont des carrés, et le prisme à base triangulaire a 2 triangles et 3 rectangles. Si tu déplies le solide, tu vois toutes ses faces à la fois sur son patron.
| Solide | Faces | Arêtes | Sommets |
|---|---|---|---|
| Cube | 6 | 12 | 8 |
| Pavé droit | 6 | 12 | 8 |
| Prisme à base triangulaire | 5 | 9 | 6 |
| Prisme à base pentagonale | 7 | 15 | 10 |
| Prisme à base hexagonale | 8 | 18 | 12 |
| Tétraèdre (pyramide à base triangulaire) | 4 | 6 | 4 |
| Pyramide à base carrée | 5 | 8 | 5 |
| Cylindre | 3 (2 planes, 1 courbe) | 2 | 0 |
| Cône | 2 (1 plane, 1 courbe) | 1 | 1 |
| Boule (sphère) | 1 courbe | 0 | 0 |
Pas besoin d'apprendre le tableau par cœur : les prismes et les pyramides suivent une règle. Si la base a n côtés :
- Prisme : faces = n + 2, arêtes = 3n, sommets = 2n. (Deux bases et n rectangles ; n arêtes autour de chaque base et n qui les relient.)
- Pyramide : faces = n + 1, arêtes = 2n, sommets = n + 1. (Une base et n triangles ; n arêtes autour de la base et n qui montent au sommet principal.)
Pour tout solide à faces planes et sans trou (un polyèdre), il existe une vérification célèbre, la formule d'Euler :
F + S − A = 2 (faces + sommets − arêtes = 2)
Pour le cube : 6 + 8 − 12 = 2. Si ton calcul ne donne pas 2, tu as oublié quelque chose.
Les solides « ronds » (cylindre, cône, boule) sont plus délicats, et tous les manuels ne disent pas la même chose. À l'école primaire, on dit souvent que le cylindre a 3 faces (2 disques plats et une surface courbe), 2 arêtes courbes et aucun sommet, et que le cône a 2 faces, 1 arête et 1 sommet (sa pointe). Beaucoup de manuels réservent le mot « face » aux surfaces planes et parlent plutôt de « surface latérale » pour la partie courbe. La formule d'Euler ne marche que pour les polyèdres. Pour aller plus loin, lis la page sur les solides.
Exemples
- Pyramide à base carrée : faces 1 carré + 4 triangles = 5 ; arêtes 4 autour de la base + 4 jusqu'en haut = 8 ; sommets 4 + 1 = 5. Vérification : 5 + 5 − 8 = 2.
- Prisme à base hexagonale (n = 6) : faces 6 + 2 = 8, arêtes 3 × 6 = 18, sommets 2 × 6 = 12. Vérification : 8 + 12 − 18 = 2.
- Octaèdre (deux pyramides à base carrée collées par leur base) : 8 faces, 12 arêtes, 6 sommets. Vérification : 8 + 6 − 12 = 2.
Erreurs fréquentes
- Oublier ce qui est caché derrière. Sur un dessin, on ne voit que 3 faces du cube, mais il en a 6. Solution : compte par groupes (dessus, dessous, côtés) ou utilise un vrai objet.
- Compter une arête deux fois. Chaque arête appartient à deux faces. Solution : compte celles du dessus, puis celles du dessous, puis celles qui montent.
- Confondre arêtes et sommets. Les arêtes sont des segments, les sommets des points. Le cube a plus d'arêtes (12) que de sommets (8).
- Utiliser la formule d'Euler pour un cylindre ou un cône. Elle ne vaut que pour les polyèdres sans trou.
Étape par étape
Étape par étape
- Reconnais le solideEst-ce un prisme, une pyramide ou un solide arrondi ? Repère la base et compte ses côtés (n).
- Compte les facesLes bases plus les faces latérales : n + 2 pour un prisme, n + 1 pour une pyramide.
- Compte les arêtesFais le tour de chaque base, puis compte les arêtes qui les relient ou qui montent vers le sommet.
- Compte les sommetsCeux de chaque base, plus le sommet du haut pour une pyramide.
- Vérifie avec EulerFaces + sommets − arêtes doit faire 2.
Exercices
Faces, arêtes et sommets
Fais chaque exercice, puis vérifie ta réponse.
- Combien de faces a un pavé droit ?
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6 - Combien de sommets a un cube ?
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4 en haut + 4 en bas = 8 - Combien d'arêtes a une pyramide à base carrée ?
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4 autour de la base + 4 jusqu'en haut = 8 - Donne les faces, arêtes et sommets d'un tétraèdre.
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4 faces, 6 arêtes, 4 sommets - Donne les faces, arêtes et sommets d'un prisme à base triangulaire.
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5 faces, 9 arêtes, 6 sommets - Donne les faces, arêtes et sommets d'un prisme à base pentagonale.
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n = 5 : 5 + 2, 3 × 5, 2 × 5 = 7 faces, 15 arêtes, 10 sommets - Donne les faces, arêtes et sommets d'une pyramide à base hexagonale.
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n = 6 : 6 + 1, 2 × 6, 6 + 1 = 7 faces, 12 arêtes, 7 sommets - Donne les faces, arêtes et sommets d'un prisme à base octogonale.
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n = 8 : 10 faces, 24 arêtes, 16 sommets - Une pyramide a une base à 10 côtés. Donne ses faces, arêtes et sommets.
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11 faces, 20 arêtes, 11 sommets - Vérifie la formule d'Euler pour un prisme à base hexagonale.
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8 + 12 − 18 = 2 : elle est vérifiée. - Un polyèdre a 6 faces et 12 arêtes. Combien a-t-il de sommets ?
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S = 2 − 6 + 12 = 8 - Un polyèdre a 12 sommets et 30 arêtes. Combien a-t-il de faces ?
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F = 2 + 30 − 12 = 20 - Un prisme a 18 arêtes. Quelle est la forme de sa base ?
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3n = 18, donc n = 6 : un hexagone (prisme à base hexagonale). - Une pyramide a 9 faces. Combien a-t-elle d'arêtes ?
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n + 1 = 9, donc n = 8 et arêtes = 2 × 8 = 16 - Selon la règle habituelle de l'école primaire, donne les faces, arêtes et sommets d'un cylindre.
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3 faces (2 planes et 1 courbe), 2 arêtes, 0 sommet - Quelqu'un dit qu'un polyèdre a 7 faces, 10 sommets et 14 arêtes. Est-ce possible ?
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7 + 10 − 14 = 3, pas 2, donc non.
Problèmes
Faces, arêtes et sommets dans la vie courante
Fais chaque exercice, puis vérifie ta réponse.
- Tu construis le squelette d'un cube avec des pailles et des boulettes de pâte à modeler. Combien de pailles et de boulettes te faut-il ?
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Une paille par arête et une boulette par sommet : 12 pailles et 8 boulettes - Tu construis le squelette d'une pyramide à base carrée avec des pailles de 10 cm. Quelle longueur de paille utilises-tu en tout ?
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8 arêtes × 10 cm = 80 cm - Tu peins chaque face d'un prisme à base triangulaire d'une couleur différente. Combien de couleurs te faut-il ?
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5 - Une boîte mesure 30 cm de long, 20 cm de large et 10 cm de haut. Tu colles du ruban adhésif sur toutes ses arêtes. Quelle longueur de ruban te faut-il ?
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4 × (30 + 20 + 10) = 4 × 60 = 240 cm - Un ballon de football classique est cousu à partir de 32 pièces et a 60 sommets. Combien a-t-il de coutures (arêtes) ?
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A = F + S − 2 = 32 + 60 − 2 = 90
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre face, arête et sommet ?
Une face est une surface du solide, une arête est le segment où deux faces se rejoignent, un sommet est un point où se rejoignent plusieurs arêtes.
Combien de faces, d'arêtes et de sommets a un cube ?
6 faces carrées, 12 arêtes et 8 sommets. Le pavé droit, comme une boîte à chaussures, a les mêmes nombres.
Comment trouver les faces, arêtes et sommets d'une pyramide ?
Avec une base à n côtés, une pyramide a n + 1 faces, 2n arêtes et n + 1 sommets. La pyramide à base carrée a 5 faces, 8 arêtes et 5 sommets.
Combien de faces, d'arêtes et de sommets a un cylindre ?
À l'école, on compte souvent 3 faces (2 disques et 1 surface courbe), 2 arêtes courbes et aucun sommet. Certains manuels ne comptent comme faces que les 2 disques plats.
Et un cône ?
On compte en général 2 faces (1 disque et 1 surface courbe), 1 arête courbe et 1 sommet, la pointe du cône.
La boule a-t-elle des faces, des arêtes ou des sommets ?
La boule a une seule surface courbe, sans arête ni sommet.
Existe-t-il une formule pour les faces, arêtes et sommets ?
Oui, la formule d'Euler : F + S − A = 2 pour tout polyèdre sans trou. Pour le cube, 6 + 8 − 12 = 2.
Mini-quiz
Faces, arêtes et sommets
Vérifie ce que tu sais avec 4 questions rapides.
Question 1 sur 4
Combien d'arêtes un cube a-t-il ?
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