Que sont les intérêts composés, et en quoi diffèrent-ils des intérêts simples ?

Quand on place de l'argent sur un compte d'épargne, la banque verse des intérêts : un pourcentage de la somme, en général chaque année. Quand on emprunte, c'est l'inverse : on paie des intérêts. Il existe deux façons de les calculer.

Les intérêts simples sont toujours calculés sur la somme de départ, le capital (C). Avec un taux annuel t (écrit en décimal) pendant n années :

Intérêts simples : I = C × t × n et la valeur acquise est C + I

On place 1 000 € à 5 % à intérêts simples : on gagne 50 € chaque année. En 3 ans, on gagne 150 € et on a 1 150 €.

Avec les intérêts composés, les intérêts sont ajoutés au compte, et ceux de l'année suivante sont calculés sur ce nouveau total, plus grand. Chaque année, les intérêts rapportent donc eux aussi des intérêts. Le capital est multiplié chaque année par le même nombre, le coefficient multiplicateur 1 + t. Pour 5 %, c'est 1,05 :

Intérêts composés : Cₙ = C × (1 + t)ⁿ où n est le nombre d'années. Les intérêts gagnés valent Cₙ − C.

1 000 € à 5 % à intérêts composés : après un an, 1 000 × 1,05 = 1 050 € ; après deux ans, 1 050 × 1,05 = 1 102,50 € ; après trois ans, 1 157,63 €. C'est 7,63 € de plus qu'avec des intérêts simples. L'écart paraît faible au début, mais il grandit sans cesse, car la puissance dans (1 + t)ⁿ accélère la croissance (les valeurs forment une suite géométrique de raison 1 + t). En 10 ans, les intérêts simples donnent 1 500 € et les intérêts composés 1 628,89 €.

La même idée marche pour ce qui perd de la valeur : la dépréciation. Un téléphone qui perd 25 % de sa valeur chaque année en garde 75 %, donc sa valeur est multipliée par 0,75 chaque année : V = C × (1 − t)ⁿ.

Parfois les intérêts sont ajoutés plus d'une fois par an, par exemple chaque mois. On divise alors le taux annuel par le nombre de périodes (k) et on multiplie le nombre d'années par k : Cₙ = C × (1 + t/k)ᵏⁿ. Les vrais comptes et les vrais prêts ont en plus leurs propres règles et leurs frais, mais les mathématiques derrière sont exactement celles-ci.

C'est quoi, les intérêts composés ?#

Ce sont des intérêts qui rapportent à leur tour des intérêts. Chaque année, les intérêts s'ajoutent au capital, et l'année suivante on calcule les intérêts sur ce total plus grand : la somme grandit de plus en plus vite.

Quelle est la formule des intérêts composés ?#

Cₙ = C × (1 + t)ⁿ, avec C le capital de départ, t le taux annuel en décimal et n le nombre d'années. Les intérêts valent Cₙ − C. Si les intérêts sont ajoutés k fois par an : Cₙ = C × (1 + t/k)ᵏⁿ.

Quelle est la formule des intérêts simples ?#

I = C × t × n : capital × taux (en décimal) × durée en années. 500 € à 4 % pendant 3 ans rapportent 500 × 0,04 × 3 = 60 €.

Comment calculer des intérêts simples en jours ?#

On remplace la durée en années par le nombre de jours divisé par la durée de l'année : I = C × t × j ÷ 360 dans beaucoup d'exercices (année dite commerciale de 360 jours), ou ÷ 365 si l'énoncé le précise. 3 600 € à 2 % pendant 90 jours : 3 600 × 0,02 × 90 ÷ 360 = 18 €.

Quelle est la différence entre intérêt simple et intérêt composé ?#

Les intérêts simples sont toujours calculés sur le capital de départ : ils ajoutent la même somme chaque année. Les intérêts composés sont calculés sur un total qui grandit : ils ajoutent un peu plus chaque année. À taux égal et au-delà d'un an, les intérêts composés rapportent toujours plus.

Comment calculer des intérêts composés mensuels ?#

On divise le taux annuel par 12 et on compte en mois : Cₙ = C × (1 + t/12)¹²ⁿ. À 6 % par an, la somme est multipliée par 1,005 chaque mois.

Combien de temps faut-il pour doubler une somme ?#

Une estimation rapide est la « règle de 72 » : on divise 72 par le taux en pourcentage. À 8 %, cela fait environ 72 ÷ 8 = 9 ans. La réponse exacte est un peu plus longue : 1 000 € deviennent 1 999 € en 9 ans.