Qu'est-ce que la proportionnalité directe, et comment la calculer ?

Les places de cinéma coûtent 4 € chacune. 1 place coûte 4 €, 2 places coûtent 8 €, 5 places coûtent 20 € et 0 place ne coûte rien. Quel que soit le nombre de places, le prix divisé par le nombre de places donne toujours 4. C'est une situation de proportionnalité : le prix est proportionnel au nombre de places.

Le nombre qui ne change pas s'appelle le coefficient de proportionnalité, noté k (ou parfois a). Dans un problème d'achat, c'est le prix d'un objet. La règle s'écrit

y = k × x, donc k = y ÷ x

Dans un tableau de proportionnalité, on passe de la première ligne à la deuxième en multipliant toujours par k. Pour savoir si deux grandeurs sont proportionnelles, il existe trois tests qui disent la même chose :

• Le test du quotient : dans le tableau, y ÷ x donne toujours le même nombre.
• Le test du graphique : sur un graphique, les points sont alignés sur une droite qui passe par l'origine (0 ; 0). La pente de cette droite est k.
• Le test de linéarité : quand une grandeur vaut 0, l'autre aussi ; et si on multiplie l'une par un nombre, l'autre est multipliée par le même nombre.

Toutes les droites ne traduisent pas une proportionnalité. Un taxi qui demande 9 € pour 2 km et 17 € pour 6 km applique une prise en charge de 5 € plus 2 € par kilomètre. Le graphique est une droite, mais elle part de 5 €, pas de 0, et 9 ÷ 2 n'est pas égal à 17 ÷ 6. Doubler la distance ne double pas le prix.

L'idée inverse, ce sont les grandeurs inversement proportionnelles : quand l'une double, l'autre est divisée par deux. Si 4 peintres mettent 6 heures pour peindre une clôture, 8 peintres travaillant au même rythme mettent 3 heures. Cette fois, c'est le produit qui reste constant (4 × 6 = 8 × 3 = 24).

La proportionnalité est partout : les ratios d'une recette, les conversions de monnaie, les échelles des cartes, la distance parcourue à vitesse constante et les pourcentages (10 % d'un prix, c'est toujours le prix × 0,1).

On peut aussi utiliser le produit en croix pour calculer une quatrième proportionnelle. Si 3 pommes coûtent 6 €, pour 5 pommes on écrit 3/6 = 5/y, donc 3 × y = 6 × 5 = 30 et y = 10 €. C'est le passage à l'unité écrit en une seule égalité.

C'est quoi une proportionnalité directe ?#

C'est une situation où l'on passe d'une grandeur à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, le coefficient de proportionnalité. Si l'une double, l'autre double ; si l'une vaut 0, l'autre aussi.

C'est quoi un tableau de proportionnalité ?#

C'est un tableau à deux lignes où l'on passe de la première à la deuxième en multipliant toujours par le même nombre k. Exemple : 1, 2, 5 places de cinéma et 4, 8, 20 € (k = 4).

Comment faire un produit en croix ?#

Dans un tableau de proportionnalité avec une case inconnue, on multiplie les deux nombres en diagonale et on divise par le troisième. Pour 3 → 6 et 5 → ?, on calcule 5 × 6 ÷ 3 = 10.

Quelle est la différence entre proportionnalité directe et inverse ?#

Dans la proportionnalité directe, les deux grandeurs augmentent ensemble et y ÷ x est constant. Quand deux grandeurs sont inversement proportionnelles, l'une augmente quand l'autre diminue, et c'est x × y qui est constant.

Comment reconnaître la proportionnalité sur un graphique ?#

Les points sont alignés sur une droite qui passe par l'origine du repère. Une droite qui ne passe pas par l'origine, ou une courbe, ne traduit pas une proportionnalité.

Quel est le lien avec les fonctions linéaires ?#

Une situation de proportionnalité de coefficient a se modélise par une fonction linéaire f(x) = ax. Sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine.