C'est quoi l'intégration en maths, et comment calculer une intégrale ?

La dérivation part d'une fonction et donne sa vitesse de variation, comme passer de la distance à la vitesse. L'intégration fait le chemin inverse : on part de la vitesse de variation et on retrouve la quantité de départ, comme passer de la vitesse à la distance.

Une primitive de f est une fonction F telle que F′ = f. Comme x³ se dérive en 3x², x³ est une primitive de 3x². Mais x³ + 5 et x³ − 2 aussi, car les constantes disparaissent quand on dérive. Les primitives de 3x² sont donc les fonctions x³ + C, où C est un réel quelconque. On écrit parfois ∫3x² dx = x³ + C : c'est une intégrale indéfinie.

La formule de base renverse celle de la dérivation :

une primitive de xⁿ est xⁿ⁺¹/(n + 1), pour tout n ≠ −1

Autrement dit : on ajoute 1 à l'exposant, puis on divise par le nouvel exposant. x² donne x³/3, x⁴ donne x⁵/5. Un coefficient reste (5x² donne 5x³/3), une somme se traite terme à terme, et une constante gagne un x : une primitive de 7 est 7x. Pour n = −1, on diviserait par 0 : une primitive de 1/x est ln x sur ]0 ; +∞[ (ln|x| pour x ≠ 0).

La deuxième grande idée, c'est l'aire. On découpe le domaine sous la courbe en bandes rectangulaires très fines et on additionne leurs aires. Plus les bandes sont fines, plus la somme approche l'aire exacte : c'est l'intégrale de a à b, notée ∫ₐᵇ f(x) dx. Pour la calculer :

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), où F est une primitive de f.

Ce lien entre aire et primitive est le théorème fondamental de l'analyse. En soustrayant, la constante C s'élimine : une intégrale est un nombre. Vérifions sur un cas connu : l'aire sous y = 2x entre 0 et 3 est un triangle de base 3 et de hauteur 6, d'aire 9. Par le calcul : une primitive de 2x est x², et 3² − 0² = 9. ✓

L'intégrale sert chaque fois qu'on accumule une grandeur : la distance à partir de la vitesse, le volume d'eau à partir du débit, le travail d'une force, une valeur moyenne.

Vérifie toujours en dérivant ta primitive : tu dois retrouver la fonction de départ.

C'est quoi l'intégration en maths ?#

C'est la recherche de primitives (l'inverse de la dérivation) et le calcul d'intégrales, qui mesurent des aires sous des courbes. Rien à voir avec l'intégration sociale ou l'intégration fiscale : c'est le même mot, dans un autre domaine.

Quelle est la formule de l'intégration par parties ?#

∫ₐᵇ u(x)v′(x) dx = [u(x)v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u′(x)v(x) dx. Elle vient de la dérivée d'un produit, (uv)′ = u′v + uv′.

Comment faire une intégration par parties ?#

Choisis u (que tu dérives) et v′ (que tu sais primitiver), puis applique la formule. Pour ∫₀¹ x eˣ dx : u = x, v′ = eˣ, donc u′ = 1 et v = eˣ. On obtient [x eˣ]₀¹ − ∫₀¹ eˣ dx = e − (e − 1) = 1.

Quelles primitives faut-il connaître ?#

xⁿ → xⁿ⁺¹/(n + 1) (n ≠ −1) ; 1/x → ln x sur ]0 ; +∞[ ; eˣ → eˣ ; cos x → sin x ; sin x → −cos x. Et pour une composée, u′eᵘ → eᵘ et u′/u → ln u (si u > 0).

Quelle est l'intégrale d'une constante ?#

Une primitive de k est kx, donc ∫ₐᵇ k dx = k(b − a). C'est l'aire d'un rectangle de hauteur k et de largeur b − a.

Quelle est la différence entre primitive et intégrale ?#

Une primitive est une fonction (définie à une constante près) ; une intégrale ∫ₐᵇ f(x) dx est un nombre, qu'on calcule avec une primitive : F(b) − F(a).