C'est quoi la dérivation en maths, et comment dériver une fonction ?

Une droite a la même pente partout. Une courbe, non : y = x² est plate en bas puis devient de plus en plus raide. La dérivée est une formule qui donne cette pente en chaque point.

En a, la pente de la tangente à la courbe s'appelle le nombre dérivé et se note f′(a) (« f prime de a »). La fonction qui à x associe f′(x) est la fonction dérivée f′. En physique, on écrit aussi dy/dx.

D'où vient-elle ? On prend deux points de la courbe, d'abscisses a et a + h, et on calcule le taux d'accroissement (f(a + h) − f(a)) / h, la pente de la sécante. Puis on fait tendre h vers 0 : la sécante devient la tangente. Pour f(x) = x², le taux vaut ((a + h)² − a²) / h = (2ah + h²) / h = 2a + h, qui tend vers 2a. Donc f′(x) = 2x.

On ne refait pas ce calcul à chaque fois, car une règle apparaît. C'est la dérivée de xⁿ :

Si f(x) = xⁿ, alors f′(x) = nxⁿ⁻¹

Autrement dit : on multiplie par l'exposant, puis on lui enlève 1. x³ donne 3x², x⁵ donne 5x⁴. Avec trois autres règles, on dérive n'importe quel polynôme :

• Un coefficient reste : 4x³ donne 4 × 3x² = 12x² (la dérivée de ku est ku′).
• Une constante seule disparaît : 7 donne 0, car une droite horizontale a une pente nulle.
• Une somme se dérive terme à terme : x² + 5x − 3 donne 2x + 5.

La formule marche aussi pour les exposants négatifs et fractionnaires : écris d'abord 1/x = x⁻¹ et √x = x^(1/2).

À quoi ça sert ? Une dérivée est une vitesse de variation, comme la vitesse d'une voiture (la distance qui change avec le temps). Le signe de f′ donne les variations de f : croissante quand f′ > 0, décroissante quand f′ < 0. Et là où f′ s'annule en changeant de signe, il y a un extremum : c'est ainsi qu'on cherche le prix qui rapporte le plus ou la boîte la plus grande. Le chemin inverse, de la dérivée à la fonction de départ, s'appelle la recherche de primitives et mène à l'intégration.

Pour savoir si un point où f′ s'annule est un maximum ou un minimum, regarde le signe de f′ autour (tableau de variations) ou calcule la dérivée seconde f″ : positive, c'est un minimum ; négative, un maximum.

C'est quoi dériver une fonction ?#

C'est calculer sa fonction dérivée f′, qui donne en chaque point la pente de la tangente, c'est-à-dire la vitesse à laquelle f varie à cet endroit.

Quelles sont les formules de dérivation à connaître ?#

xⁿ donne nxⁿ⁻¹ ; 1/x donne −1/x² ; √x donne 1/(2√x). Pour les opérations : (u + v)′ = u′ + v′, (ku)′ = ku′, (uv)′ = u′v + uv′, (u/v)′ = (u′v − uv′)/v², et pour une composée (f(g(x)))′ = g′(x) × f′(g(x)).

Quelle est la dérivée de l'exponentielle ?#

La fonction exp est sa propre dérivée : (eˣ)′ = eˣ. Plus généralement, (eᵘ)′ = u′eᵘ, donc la dérivée de e^(x²) est 2x·e^(x²). Et la dérivée de ln x est 1/x.

Quelles sont les dérivées de sin et cos ?#

(sin x)′ = cos x et (cos x)′ = −sin x, avec x en radians. Ces formules sont vues en terminale.

C'est quoi la dérivation en français ?#

En grammaire, la dérivation est la formation d'un mot nouveau en ajoutant un préfixe ou un suffixe (« jardin » → « jardinier »). En maths, c'est le calcul des dérivées, qui n'a rien à voir.

Quelle est la différence entre dérivée et primitive ?#

Ce sont deux opérations inverses : si F′ = f, on dit que F est une primitive de f. Dériver va de la distance à la vitesse ; chercher une primitive va de la vitesse à la distance, et permet de calculer des aires avec les intégrales.