Matematica
Che cos'è il vertice della parabola e come si calcola?
Risposta veloce
Il vertice è il punto più basso o più alto della parabola. Per y = ax² + bx + c ha coordinate V(−b/2a; −Δ/4a), con Δ = b² − 4ac.
In una frase
Il vertice della parabola è il punto in cui la curva cambia direzione: il punto più basso se la concavità è verso l'alto (∪), il più alto se è verso il basso (∩).
Spiegazione
Il grafico di ogni funzione di secondo grado, y = ax² + bx + c, è una parabola con asse verticale: una curva simmetrica a forma di U. Il vertice V è il punto in cui la curva smette di scendere e comincia a salire, o viceversa.
palla
ponte
montagna
La concavità dipende dal segno di a, il coefficiente di x²:
- a > 0: concavità verso l'alto (∪). Il vertice è il punto di minimo.
- a < 0: concavità verso il basso (∩). Il vertice è il punto di massimo.
La retta verticale che passa per il vertice è l'asse di simmetria della parabola, di equazione x = −b/2a.
Le formule del vertice. Per y = ax² + bx + c il vertice è
V(−b/2a; −Δ/4a), dove Δ = b² − 4ac è il delta (il discriminante).
L'ordinata si può anche trovare sostituendo xᵥ nell'equazione: yᵥ = f(xᵥ). I due metodi danno lo stesso risultato.
Da dove viene −b/2a? Cerca i punti in cui y = c. Allora ax² + bx = 0, cioè x(ax + b) = 0, da cui x = 0 oppure x = −b/a. Questi due punti sono alla stessa altezza, quindi, per simmetria, il vertice sta esattamente a metà: xᵥ = −b/2a.
Il vertice si trova a partire da ciascuna delle tre forme dell'equazione:
- Forma generale y = ax² + bx + c: usa xᵥ = −b/2a e yᵥ = −Δ/4a.
- Forma canonica y = a(x − h)² + k: il vertice è subito V(h; k). Attenzione al segno: y = (x + 4)² − 7 ha vertice (−4; −7). Si arriva a questa forma con il completamento del quadrato.
- Forma scomposta y = a(x − x₁)(x − x₂): la parabola taglia l'asse x negli zeri x₁ e x₂, e il vertice sta a metà: xᵥ = (x₁ + x₂)/2.
A che cosa serve? Ogni volta che una grandezza segue una parabola, il vertice risponde alla domanda «qual è il massimo (o il minimo) e quando si raggiunge?». Un pallone lanciato verso l'alto con altezza h = 20t − 5t² metri raggiunge il vertice per t = −20/(2 · (−5)) = 2 secondi, quando h = 40 − 20 = 20 m: sale fino a 20 m dopo 2 secondi e poi ricade. Il vertice sta anche esattamente a metà tra le due soluzioni dell'equazione di secondo grado, ed è per questo che la formula risolutiva comincia con −b/2a.
Esempi
| Equazione | Forma | Calcolo | Vertice | Max o min |
|---|---|---|---|---|
| y = x² − 6x + 5 | generale | xᵥ = 6/2 = 3; yᵥ = 9 − 18 + 5 = −4 | (3; −4) | minimo |
| y = 2x² + 8x + 3 | generale | xᵥ = −8/4 = −2; yᵥ = 8 − 16 + 3 = −5 | (−2; −5) | minimo |
| y = −x² + 4x + 1 | generale | xᵥ = −4/(−2) = 2; yᵥ = −4 + 8 + 1 = 5 | (2; 5) | massimo |
| y = 3(x − 1)² + 4 | canonica | h = 1, k = 4 | (1; 4) | minimo |
| y = −(x + 2)² + 6 | canonica | h = −2, k = 6 | (−2; 6) | massimo |
| y = (x − 1)(x − 5) | scomposta | xᵥ = (1 + 5)/2 = 3; yᵥ = 2 · (−2) = −4 | (3; −4) | minimo |
La prima e l'ultima riga sono la stessa parabola: (x − 1)(x − 5) = x² − 6x + 5, e i due metodi danno (3; −4).
Esempio svolto: trova il vertice di y = 2x² − 4x + 5. Qui a = 2, b = −4 e c = 5, quindi xᵥ = 4/4 = 1. Il delta è Δ = 16 − 40 = −24, perciò yᵥ = −(−24)/8 = 3. Il vertice è V(1; 3) e, poiché a = 2 > 0, è un punto di minimo. Verifica per sostituzione: 2 − 4 + 5 = 3. ✓
Errori comuni
- Dimenticare il meno in −b/2a. In y = x² + 6x + 1, b = 6, quindi xᵥ = −6/2 = −3, non 3.
- Sbagliare il segno in −Δ/4a. Se Δ = −24, allora −Δ = +24. Scrivi le parentesi: −(−24).
- Leggere male la forma canonica. y = (x − 2)² + 5 ha vertice (2; 5); y = (x + 2)² + 5 ha vertice (−2; 5). Chiediti quale x annulla la parentesi.
- Dividere per 2 e dimenticare a. −b/2a significa −b diviso (2 · a). In y = 3x² − 12x, xᵥ = 12/6 = 2, non 12/2 = 6.
- Pensare che il vertice sia sempre il punto più basso. Se a < 0 è il punto più alto.
Passo dopo passo
Passo dopo passo
- Individua a, b e cScrivi l'equazione come y = ax² + bx + c, con i segni.
- Calcola l'ascissaXᵥ = −b/2a. (Nella forma canonica leggi h; nella forma scomposta fai la media degli zeri.)
- Calcola l'ordinataYᵥ = −Δ/4a, oppure sostituisci xᵥ nell'equazione.
- Massimo o minimo?A > 0: minimo; a < 0: massimo.
- Verifica con la simmetriaDue valori di x alla stessa distanza da xᵥ devono dare la stessa y.
L'asse di simmetria è la retta x = xᵥ. Per disegnare la parabola, segna prima il vertice e poi completa una tabella di valori a destra e a sinistra.
Esercizi
Trova il vertice
Prova ogni esercizio, poi controlla la risposta.
- Trova il vertice di y = (x − 4)² + 1.
Mostra la soluzione
(4; 1) - Trova il vertice di y = (x + 3)² − 5.
Mostra la soluzione
La parentesi si annulla per x = −3: (−3; −5) - Trova il vertice di y = −2(x − 1)² + 8. È di massimo o di minimo?
Mostra la soluzione
(1; 8), un massimo (a = −2 è negativo) - Trova il vertice di y = x² + 4.
Mostra la soluzione
b = 0, quindi xᵥ = 0 e yᵥ = 4: (0; 4) - Trova il vertice di y = x² − 4x + 7.
Mostra la soluzione
xᵥ = 4/2 = 2; yᵥ = 4 − 8 + 7 = 3: (2; 3) - Trova il vertice di y = x² + 10x + 21.
Mostra la soluzione
xᵥ = −10/2 = −5; yᵥ = 25 − 50 + 21 = −4: (−5; −4) - Trova il vertice di y = 2x² − 12x + 13.
Mostra la soluzione
xᵥ = 12/4 = 3; yᵥ = 18 − 36 + 13 = −5: (3; −5) - Trova il vertice di y = −x² + 6x − 2.
Mostra la soluzione
xᵥ = −6/(−2) = 3; yᵥ = −9 + 18 − 2 = 7: (3; 7), un massimo - Trova il vertice di y = 3x² + 6x + 1.
Mostra la soluzione
xᵥ = −6/6 = −1; yᵥ = 3 − 6 + 1 = −2: (−1; −2) - Trova il vertice di y = x² − 5x + 4.
Mostra la soluzione
xᵥ = 5/2 = 2,5; yᵥ = 6,25 − 12,5 + 4 = −2,25: (2,5; −2,25) - Trova il vertice di y = (x − 2)(x − 8).
Mostra la soluzione
xᵥ = (2 + 8)/2 = 5; yᵥ = 3 · (−3) = −9: (5; −9) - Trova il vertice di y = −(x + 1)(x − 5).
Mostra la soluzione
xᵥ = (−1 + 5)/2 = 2; yᵥ = −(3)(−3) = 9: (2; 9), un massimo - Scrivi y = x² + 8x + 10 in forma canonica e trova il vertice.
Mostra la soluzione
(x + 4)² − 16 + 10 = (x + 4)² − 6, vertice (−4; −6) - Una parabola ha vertice (2; −3) e passa per (0; 1). Scrivi la sua equazione in forma canonica.
Mostra la soluzione
y = a(x − 2)² − 3; in (0; 1): 1 = 4a − 3, quindi a = 1: y = (x − 2)² − 3 - Qual è il valore massimo di y = −4x² + 8x + 5?
Mostra la soluzione
xᵥ = −8/(−8) = 1; yᵥ = −4 + 8 + 5 = 9: il massimo è 9, per x = 1
Problemi
Il vertice nella vita reale
Prova ogni esercizio, poi controlla la risposta.
- L'altezza di un pallone è h = 20t − 5t² metri dopo t secondi. Qual è l'altezza massima e quando viene raggiunta?
Mostra la soluzione
t = −20/(2 · (−5)) = 2; h = 40 − 20 = 20: 20 m, dopo 2 secondi - Con 40 m di recinzione si costruisce un rettangolo di area A = x(20 − x) m², dove x è la larghezza. Qual è l'area massima?
Mostra la soluzione
A = −x² + 20x; xᵥ = 10; A = 10 · 10: 100 m² (un quadrato di lato 10 m) - Lo zampillo di una fontana segue h = −5t² + 10t + 1 metri. Qual è il suo punto più alto?
Mostra la soluzione
t = −10/(−10) = 1; h = −5 + 10 + 1: 6 m, dopo 1 secondo - L'arcata di un ponte ha la forma y = −0,02x² + 2x, in metri, dove x è la distanza da uno dei piedi dell'arco. Quanto è alta l'arcata?
Mostra la soluzione
xᵥ = −2/(−0,04) = 50; y = −0,02 · 2500 + 100 = 50: 50 m, a 50 m dal piede - Due numeri hanno somma 14. Qual è il loro prodotto massimo?
Mostra la soluzione
P = x(14 − x) = −x² + 14x; xᵥ = 7: 49 (7 · 7) - Il guadagno giornaliero di un chiosco di limonata è G = −10p² + 60p − 40 euro, dove p è il prezzo di un bicchiere in euro. Quale prezzo dà il guadagno massimo?
Mostra la soluzione
p = −60/(−20) = 3; G = −90 + 180 − 40 = 50: 3 € al bicchiere, con 50 € di guadagno
Domande frequenti
Qual è la formula del vertice della parabola?
Per y = ax² + bx + c il vertice è V(−b/2a; −Δ/4a), con Δ = b² − 4ac. L'ascissa xᵥ = −b/2a è anche l'equazione dell'asse di simmetria.
Come si trova la y del vertice?
In due modi: con la formula yᵥ = −Δ/4a, oppure sostituendo xᵥ nell'equazione della parabola. Per y = x² − 4x + 7: xᵥ = 2 e yᵥ = 4 − 8 + 7 = 3.
Come si trovano vertice e fuoco della parabola?
Per y = ax² + bx + c il vertice è V(−b/2a; −Δ/4a) e il fuoco è F(−b/2a; (1 − Δ)/4a); la direttrice è la retta y = −(1 + Δ)/4a. Il vertice sta esattamente a metà tra il fuoco e la direttrice.
Che cos'è il fuoco della parabola?
È il punto, interno alla curva, che insieme alla direttrice definisce la parabola: ogni punto della parabola è equidistante dal fuoco e dalla direttrice. Per y = ax², il fuoco è F(0; 1/4a).
Come si trova il vertice dal grafico?
Cerca il punto in cui la curva cambia direzione. Se non cade su un nodo della quadrettatura, prendi due punti della parabola alla stessa altezza: il vertice sta esattamente a metà.
Una parabola può avere più di un vertice?
No. Una parabola ha un solo vertice e un solo asse di simmetria.
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Vertice della parabola
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Domanda 1 di 5
Qual è il vertice di y = (x − 3)² + 2?
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Completamento del quadrato
Completare il quadrato significa scrivere x² + bx + c come (x + b/2)² − (b/2)² + c. Serve a risolvere le equazioni di secondo grado, trovare il vertice della parabola e ricavare la formula risolutiva.
Equazioni di secondo grado e formula risolutiva
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Formula risolutiva e delta
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