Come si usa la formula risolutiva e che cosa dice il delta?

Ogni equazione di secondo grado si può scrivere in forma normale ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0. La formula risolutiva la risolve in due passaggi:

Δ = b² − 4ac e x₁,₂ = (−b ± √Δ) / 2a

Il segno ± vuol dire che si fa il calcolo due volte, una con + e una con −, e si ottengono le due soluzioni x₁ e x₂. Nella pagina sulle equazioni di secondo grado trovi il confronto con gli altri metodi; qui smontiamo la formula pezzo per pezzo.

Che cosa dice il delta. Δ (la lettera greca delta maiuscola) si chiama anche discriminante, perché distingue tre casi:

• Δ > 0: due soluzioni reali distinte. La parabola taglia l'asse x in due punti. Se Δ è un quadrato perfetto (1, 4, 9, 16…) e a, b, c sono interi, le soluzioni sono intere o frazionarie e il trinomio si scompone; altrimenti compaiono radicali, come 2 ± √3.
• Δ = 0: due soluzioni reali coincidenti, x₁ = x₂ = −b/2a. La parabola tocca l'asse x nel vertice.
• Δ < 0: nessuna soluzione reale: l'equazione è impossibile in ℝ, perché un numero negativo non ha radice quadrata reale. La parabola non incontra l'asse x.

Le due metà della formula. Separando la frazione:

x = −b/2a ± √Δ/2a

La prima parte, −b/2a, è l'ascissa del vertice della parabola, il centro della curva. La seconda è la distanza di ciascuna soluzione da quel centro. Per questo le due soluzioni sono sempre simmetriche rispetto all'asse della parabola.

Da dove viene la formula. Si ottiene con il completamento del quadrato. Dividi ax² + bx + c = 0 per a, porta c/a a destra e aggiungi (b/2a)² ai due membri: (x + b/2a)² = (b² − 4ac)/4a². Estrai la radice con ± e sottrai b/2a: ecco la formula risolutiva.

La formula ridotta. Se b è pari, conviene usare Δ/4 = (b/2)² − ac e

x₁,₂ = (−b/2 ± √(Δ/4)) / a

I numeri sono più piccoli e il risultato è identico. Per x² + 6x + 7 = 0: Δ/4 = 9 − 7 = 2, quindi x = −3 ± √2.

Somma e prodotto. Quando le soluzioni esistono: x₁ + x₂ = −b/a e x₁ · x₂ = c/a. È un controllo veloce del risultato.

Equazioni pure e spurie. Se b = 0 (equazione pura, come x² − 9 = 0) basta isolare x²: x = ±3. Se c = 0 (equazione spuria, come x² − 4x = 0) basta raccogliere x: x(x − 4) = 0, quindi x = 0 o x = 4. La formula funziona anche lì, ma è più lunga.

Che cos'è il delta in un'equazione di secondo grado?#

È il discriminante Δ = b² − 4ac, il numero sotto radice nella formula risolutiva. Il suo segno indica quante soluzioni reali ci sono: positivo, due distinte; zero, due coincidenti; negativo, nessuna.

Che cosa succede se il delta è negativo?#

L'equazione è impossibile nei numeri reali, perché non esiste la radice quadrata reale di un numero negativo. Nel grafico, la parabola sta tutta sopra o tutta sotto l'asse x. Con i numeri complessi, che si studiano più avanti, le soluzioni esistono.

Quando si usa la formula ridotta?#

Quando b è pari. Si calcola Δ/4 = (b/2)² − ac e poi x = (−b/2 ± √(Δ/4))/a. I conti sono più semplici e il risultato è lo stesso della formula completa.

La formula risolutiva serve anche per le disequazioni?#

Sì, come primo passo. Per risolvere ax² + bx + c > 0 si trovano prima gli zeri con la formula, poi si studia il segno del trinomio, che è concorde con a all'esterno delle soluzioni e discorde tra le due soluzioni.

Esiste una formula per le equazioni di terzo, quarto e quinto grado?#

Per il terzo e il quarto grado sì: furono trovate nel Cinquecento da matematici italiani (Scipione del Ferro, Tartaglia, Cardano e Ferrari), ma sono molto più complicate. Per il quinto grado e oltre, Ruffini e Abel hanno dimostrato che non esiste una formula generale con soli radicali.