Come si trovano le intersezioni con gli assi e gli zeri di una funzione?

Disegna un grafico nel piano cartesiano. Passando, la retta o la curva di solito taglia entrambi gli assi. Questi punti sono le intersezioni con gli assi, e nello studio di funzione sono tra le prime cose che si calcolano.

Tutto si basa su un fatto: ogni punto dell'asse y ha ascissa 0, e ogni punto dell'asse x ha ordinata 0. Quindi:

• Intersezione con l'asse y: poni x = 0 e calcola y. Il punto è (0; y).
• Intersezioni con l'asse x: poni y = 0 e risolvi l'equazione in x. Ogni soluzione è uno zero e dà un punto (x; 0).

In pratica si mette a sistema l'equazione della funzione con l'equazione dell'asse: y = 0 per l'asse x, x = 0 per l'asse y.

Rette. Nella forma esplicita y = mx + q, il numero q è l'ordinata all'origine (l'intersezione con l'asse y) e m è il coefficiente angolare. Ponendo y = 0 si ha mx + q = 0, quindi lo zero è x = −q/m. Per y = 2x − 6: ordinata all'origine −6, punto (0; −6); zero 6/2 = 3, punto (3; 0).

Se la retta è in forma implicita, come 2x + 3y = 12, copri una lettera alla volta: con x = 0, 3y = 12, quindi (0; 4); con y = 0, 2x = 12, quindi (6; 0). Due casi particolari: una retta orizzontale come y = 4 non incontra mai l'asse x, e una retta verticale come x = 3 non incontra mai l'asse y (e non è il grafico di una funzione).

Parabole. Per y = ax² + bx + c, l'intersezione con l'asse y è sempre (0; c). Gli zeri sono le soluzioni di ax² + bx + c = 0, che trovi scomponendo, con il completamento del quadrato o con la formula risolutiva. Una parabola ha due, uno o nessuno zero reale, a seconda del segno del delta. In forma canonica poni y = 0 ed estrai la radice: per y = (x − 1)² − 9, (x − 1)² = 9, x − 1 = ±3, quindi x = 4 oppure x = −2.

Funzioni fratte e altre funzioni. La regola non cambia, ma bisogna rispettare il dominio. Per una funzione fratta come y = (x − 2)/(x + 1), gli zeri sono i valori che annullano il numeratore senza annullare il denominatore: qui x = 2. Una funzione può avere molti zeri, ma al massimo una intersezione con l'asse y, perché a x = 0 corrisponde una sola y (e nessuna, se 0 non è nel dominio).

Che cosa significano. Nei problemi reali l'ordinata all'origine è spesso il valore iniziale: lo scatto alla partenza di un taxi, i risparmi di partenza, la batteria carica. Uno zero indica spesso quando qualcosa finisce o tocca terra: il serbatoio vuoto, il pallone che ricade.

Come si calcolano le intersezioni con gli assi di una funzione?#

Si mette a sistema la funzione con l'equazione di ciascun asse. Con l'asse y (x = 0) si calcola f(0); con l'asse x (y = 0) si risolve f(x) = 0. Le soluzioni della seconda equazione sono gli zeri.

Che cosa sono gli zeri di una funzione?#

Sono i valori di x per cui f(x) = 0. Nel grafico sono le ascisse dei punti in cui la curva incontra l'asse x. Per f(x) = x² − 4 gli zeri sono 2 e −2.

Come si trovano gli zeri di una funzione fratta?#

Si pone uguale a zero il numeratore e si scartano le soluzioni che annullano anche il denominatore, perché sono fuori dal dominio. Per (x² − 1)/(x − 1), x = 1 è escluso, quindi l'unico zero è x = −1.

Come si trovano gli zeri dal grafico?#

Si leggono le ascisse dei punti in cui la curva taglia o tocca l'asse x. Se un punto non cade su un nodo della quadrettatura, il grafico dà solo una stima: per il valore esatto serve il calcolo.

Come si trova l'intersezione con gli assi di una parabola?#

Per y = ax² + bx + c, l'asse y è tagliato in (0; c). Per l'asse x si risolve ax² + bx + c = 0: se Δ > 0 ci sono due punti, se Δ = 0 uno (parabola tangente all'asse), se Δ < 0 nessuno.

Perché nello studio di funzione si studia anche il segno?#

Gli zeri, insieme ai punti esclusi dal dominio, dividono l'asse x in intervalli in cui la funzione è tutta positiva o tutta negativa. Trovare gli zeri e poi il segno dice dove il grafico sta sopra o sotto l'asse x.