Cos'è la pendenza di una retta e come si calcola?

Immagina di andare in bici in salita. Una salita dolce sale poco per ogni metro percorso, una salita ripida sale tanto. La pendenza dà un numero a questa ripidità. Per una retta si chiama coefficiente angolare e si indica con la lettera m.

La regola è quanto sale diviso quanto avanza. Quanto sale è la variazione di y, quanto avanza è la variazione di x. Per due punti A(x₁; y₁) e B(x₂; y₂):

m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) = Δy / Δx

Bastano due punti, e non importa quali: una retta è inclinata allo stesso modo dappertutto. È proprio questo che la rende una retta.

Ci sono quattro casi:

• Pendenza positiva: la retta sale da sinistra a destra (funzione crescente).
• Pendenza negativa: la retta scende da sinistra a destra (funzione decrescente).
• Pendenza nulla: la retta è orizzontale, non sale per niente.
• Pendenza non definita: la retta è verticale (equazione x = k). Non avanza (Δx = 0) e non si può dividere per zero.

L'equazione esplicita della retta è y = mx + q: m è il coefficiente angolare e q è l'ordinata all'origine, il punto in cui la retta taglia l'asse y. Se q = 0, la retta passa per l'origine: è la proporzionalità diretta y = mx della scuola media. Vedi anche le coordinate e le equazioni.

La pendenza è anche un tasso di variazione. In un grafico spazio-tempo è la velocità, in un grafico prezzo-numero di biglietti è il prezzo di un biglietto. Per questo la ritrovi in tanti grafici a linee.

Per strade, rampe e tetti la pendenza si dà in percentuale: m × 100. Una salita del 10 % sale di 10 m ogni 100 m in orizzontale (m = 0,1). E se α è l'angolo che la retta forma con l'asse x, allora m = tan α.

Dall'equazione: se è in forma esplicita y = mx + q, il coefficiente angolare è il numero davanti a x. Se è in forma implicita ax + by + c = 0, ricava y oppure usa m = −a/b. Per 2x + 3y = 12: y = −⅔x + 4, quindi m = −⅔.

Come si calcola la pendenza di una retta?#

Con due punti: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁), la variazione delle y divisa per la variazione delle x. Se hai già l'equazione y = mx + q, la pendenza è m.

Come si calcola la pendenza in percentuale?#

Dividi il dislivello per la distanza in orizzontale e moltiplica per 100. Una strada che sale di 30 m su 500 m in orizzontale ha pendenza 30 : 500 = 0,06, cioè il 6 %.

Qual è la pendenza massima di una rampa per disabili?#

In Italia la normativa sulle barriere architettoniche (D.M. 236/1989) indica di norma una pendenza massima dell'8 %, cioè 8 cm di dislivello ogni metro in orizzontale. La rampa del problema 3 (8,3 %) sarebbe quindi un po' troppo ripida.

Come si calcola la pendenza di un tetto o di una salita?#

Misura l'altezza e la lunghezza in orizzontale (non lungo il tetto) e dividi. Un tetto che sale di 3 m su 10 m in orizzontale ha pendenza 0,3, cioè il 30 %.

Una pendenza del 100 % è verticale?#

No. 100 % vuol dire che si sale di 1 m per ogni metro in orizzontale: è un angolo di 45°, perché tan 45° = 1. Una parete verticale non ha una pendenza in percentuale.

Come si dice pendenza in inglese?#

Slope negli Stati Uniti, gradient nel Regno Unito. Nei fogli di calcolo la funzione PENDENZA calcola la pendenza della retta che meglio approssima una serie di dati.