Cos'è una funzione in matematica?

Immagina una macchina delle funzioni. Inserisci un numero, la macchina applica la sua regola ed esce un numero. Se la regola è «moltiplica per 2 e aggiungi 3», inserendo 4 esce 11, inserendo 10 esce 23. Se domani inserisci di nuovo 4, esce di nuovo 11. È questa affidabilità a rendere la regola una funzione.

In matematica la regola si scrive y = f(x) = 2x + 3 e si legge «f di x uguale a 2x più 3». La x è la variabile indipendente, la y è la variabile dipendente, e f(x) è l'immagine di x. Quindi f(4) = 2 · 4 + 3 = 11: 11 è l'immagine di 4. Attenzione: f(x) non significa f per x.

La regola fondamentale: a ogni x corrisponde una e una sola y. Due x diverse possono avere la stessa immagine (con f(x) = x², sia 3 sia −3 danno 9), ma una x non può mai avere due immagini. Pensa a un distributore automatico: ogni tasto dà un solo prodotto. Se il tasto B4 desse a volte patatine e a volte cioccolato, sarebbe guasto, e la «funzione» pure.

Una funzione si può dare in quattro modi:

• Legge (formula): f(x) = 2x + 3
• Tabella: i valori di x in una riga e quelli di y nell'altra
• Coppie ordinate: (0; 3), (1; 5), (2; 7)
• Grafico: ogni coppia è un punto nel piano cartesiano, con le coordinate x in orizzontale e y in verticale

Sul grafico vale il test della retta verticale: se una retta verticale taglia il grafico in più di un punto, non è una funzione. Una circonferenza non lo supera, una retta non verticale sì.

Altre tre parole importanti. Il dominio è l'insieme delle x che si possono usare. Il codominio è l'insieme in cui cadono le immagini (di solito i numeri reali). L'insieme immagine è l'insieme dei valori che escono davvero. Per f(x) = 1/x il dominio è ℝ senza lo 0 (non si divide per 0). Per f(x) = x² l'insieme immagine è y ≥ 0, perché un quadrato non è mai negativo.

Le prime funzioni che si incontrano sono la proporzionalità diretta y = kx e la funzione lineare y = mx + q, che hanno per grafico una retta: m è la pendenza e q l'ordinata all'origine. Poi vengono la proporzionalità inversa (y = k/x), le funzioni quadratiche (x², grafico a parabola), le esponenziali (2ˣ) e le goniometriche (sen x). Anche le successioni sono funzioni: la formula del termine generale associa a ogni posizione n un termine.

Per capire se una relazione è una funzione, guarda le x: se una compare due volte con y diverse, non è una funzione.

Cos'è una funzione, in parole semplici?#

È una regola che prende un numero e ne restituisce esattamente uno. «Aggiungi 5» è una funzione: il 2 diventa 7, il 10 diventa 15, e lo stesso numero dà sempre lo stesso risultato.

Come si risolvono gli esercizi sulle funzioni?#

Di solito si chiede una di due cose. Calcolare un'immagine: sostituisci il numero alla x, per esempio f(3) con f(x) = 2x + 1 dà 7. Oppure trovare la x che dà un certo valore: imposta l'equazione, 2x + 1 = 9 dà x = 4.

Come si trova il dominio di una funzione?#

Cerca i valori di x che creano problemi. Un denominatore non può essere 0: in f(x) = 1/(x − 2) si esclude x = 2. Sotto una radice quadrata ci vuole un numero non negativo: in f(x) = √(x − 3) serve x ≥ 3.

Cosa sono le funzioni pari e dispari?#

Una funzione è pari se f(−x) = f(x), come x²: il grafico è simmetrico rispetto all'asse y. È dispari se f(−x) = −f(x), come x³: il grafico è simmetrico rispetto all'origine. Molte funzioni, come x + 1, non sono né pari né dispari.

Cos'è k nelle funzioni?#

Nelle funzioni di proporzionalità della scuola media, k è la costante di proporzionalità. In y = kx (proporzionalità diretta) è il rapporto y/x sempre uguale; in y = k/x (proporzionalità inversa) è il prodotto x · y sempre uguale.

Cosa sono le funzioni goniometriche?#

Sono funzioni come seno, coseno e tangente, che associano un numero a ogni angolo. I loro grafici sono onde che si ripetono, per questo descrivono fenomeni periodici come il suono o le maree.