Cos'è il completamento del quadrato e come si fa passo dopo passo?

Si parte da un prodotto notevole, il quadrato di binomio: (x + 3)² = x² + 6x + 9. Guarda lo schema: il numero nella parentesi (3) è la metà del coefficiente di x (6), e il termine noto (9) è quella metà al quadrato. In generale:

(x + d)² = x² + 2dx + d²

Quasi nessun trinomio è un quadrato perfetto. x² + 6x + 5 è «quasi» (x + 3)², ma finisce con 5 invece che con 9. Il completamento del quadrato sistema le cose: scrivi il quadrato e correggi il termine noto, aggiungendo e togliendo lo stesso numero.

x² + 6x + 5 = x² + 6x + 9 − 9 + 5 = (x + 3)² − 4

La regola per qualunque x² + bx + c è:

x² + bx + c = (x + b/2)² − (b/2)² + c

Perché si chiama completamento del quadrato? Immagina x² come un quadrato di lato x e 6x come due rettangoli di 3 per x attaccati a due lati. La figura è quasi un quadrato grande di lato x + 3: manca solo un angolo di 3 × 3. Aggiungendo quei 9 quadratini, completi il quadrato. È così che al-Khwarizmi risolveva le equazioni di secondo grado più di mille anni fa.

Quando il trinomio è nella forma a(x + p)² + q, tre cose diventano facili:

• Risolvere l'equazione. Porti q dall'altra parte, dividi per a ed estrai la radice con ±. Funziona per ogni equazione di secondo grado, anche quando non si scompone. Anzi, è proprio completando il quadrato in ax² + bx + c = 0 che si ricava la formula risolutiva con il Δ.
• Il vertice della parabola. La parabola y = a(x + p)² + q ha vertice V(−p; q), lo stesso punto che trovi con V(−b/2a; −Δ/4a).
• Il massimo o il minimo. Un quadrato non è mai negativo, quindi (x + p)² + q non scende mai sotto q. Se a è negativo, la parabola ha la concavità verso il basso e q è il valore massimo.

Se x² ha un coefficiente (a ≠ 1), raccogli prima a nei termini con x² e con x: 2x² + 12x + 7 = 2(x² + 6x) + 7. Completi il quadrato nella parentesi e poi rimoltiplichi.

Verifica veloce: sviluppa il risultato. Se ritrovi il trinomio di partenza, è giusto.

Qual è la formula del completamento del quadrato?#

Per x² + bx + c: x² + bx + c = (x + b/2)² − (b/2)² + c. Per ax² + bx + c diventa a(x + b/2a)² + c − b²/4a, ma non serve impararla a memoria se raccogli prima a.

Come si completa il quadrato in un'equazione di secondo grado?#

Porta il termine noto dall'altra parte, aggiungi (b/2)² a entrambi i membri e scrivi il primo membro come quadrato di binomio. In x² + 6x − 7 = 0: x² + 6x = 7, x² + 6x + 9 = 16, (x + 3)² = 16, x + 3 = ±4, quindi x = 1 oppure x = −7.

Come si completa il quadrato con un coefficiente davanti a x²?#

Raccogli il coefficiente nei termini con x² e x, completa il quadrato nella parentesi e moltiplica per il coefficiente il numero che sottrai. Per 2x² + 8x + 1: 2(x² + 4x) + 1 = 2[(x + 2)² − 4] + 1 = 2(x + 2)² − 7, con vertice V(−2; −7).

A cosa serve il completamento del quadrato?#

A risolvere le equazioni di secondo grado che non si scompongono, a trovare il vertice e il massimo o minimo di una parabola, a ricavare la formula risolutiva e, in geometria analitica, a trovare centro e raggio di una circonferenza: x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0 diventa (x − 2)² + (y + 3)² = 25, con centro C(2; −3) e raggio 5.

Meglio completare il quadrato o usare la formula del Δ?#

Per risolvere, entrambi i metodi funzionano sempre e la formula di solito è più veloce. Il completamento del quadrato conviene quando ti serve anche il vertice o il massimo, oppure quando a = 1 e b è pari, perché i conti restano piccoli.