Qual è la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado e come si usa?

Un'equazione di secondo grado è ogni equazione che si può scrivere nella forma normale

ax² + bx + c = 0, con a diverso da 0.

L'esponente più alto della x è 2: per questo è «di secondo grado». I numeri a, b e c sono i coefficienti, e c si chiama termine noto. In 3x² + 2x − 8 = 0 si ha a = 3, b = 2 e c = −8. A differenza delle equazioni di primo grado, una di secondo grado ha di solito due soluzioni (dette anche radici).

Perché due? Pensa a una palla lanciata verso l'alto. La sua altezza segue una curva chiamata parabola. Se chiedi «quando è a 15 m di altezza?», le risposte sono due: una mentre sale e una mentre scende. Sul grafico, le soluzioni di ax² + bx + c = 0 sono le ascisse dei punti in cui la parabola y = ax² + bx + c taglia l'asse x, e puoi leggerle con le coordinate.

I metodi principali sono tre:

• Equazione pura (b = 0): si ricava x². x² = 49 dà x = 7 oppure x = −7. Non dimenticare la soluzione negativa.
• Scomposizione: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0. Per la legge di annullamento del prodotto, x = 2 oppure x = 3. Nell'equazione spuria (c = 0) basta raccogliere x: x² − 4x = x(x − 4).
• La formula risolutiva, che funziona per tutte le equazioni di secondo grado, anche quelle che non si scompongono:

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

Il ± vuol dire che fai il conto due volte, una con + e una con −, per trovare x₁ e x₂. Quando b è pari conviene la formula ridotta: x = (−b/2 ± √(Δ/4)) / a, con Δ/4 = (b/2)² − ac. Dà le stesse soluzioni con numeri più piccoli.

L'espressione sotto radice, Δ = b² − 4ac, si chiama discriminante o delta. Ti dice in anticipo quante soluzioni reali ci sono:

• Δ > 0: due soluzioni reali distinte (la parabola taglia l'asse x due volte).
• Δ = 0: una soluzione doppia (la parabola tocca l'asse).
• Δ < 0: nessuna soluzione reale, perché un numero negativo non ha radice quadrata reale (la parabola non tocca l'asse).

Con numeri piccoli, prova prima a scomporre con la regola somma e prodotto: cerca due numeri che moltiplicati diano c e sommati diano b (per x² + 5x + 6 sono 2 e 3). Se non li trovi subito, passa alla formula.

Qual è la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado?#

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a, con Δ = b² − 4ac. Dà le soluzioni di qualsiasi equazione ax² + bx + c = 0.

Cos'è la formula risolutiva?#

È una formula che, partendo dai coefficienti a, b e c, ti dà direttamente le soluzioni senza dover scomporre. Funziona sempre, anche quando la scomposizione non si vede o non esiste con numeri interi.

Come si ricava la formula risolutiva?#

Con il completamento del quadrato. Dividi ax² + bx + c = 0 per a: x² + (b/a)x = −c/a. Aggiungi (b/2a)² a entrambi i membri: (x + b/2a)² = (b² − 4ac)/4a². Estrai la radice: x + b/2a = ±√(b² − 4ac)/2a, quindi x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a.

Cos'è il delta?#

È il discriminante Δ = b² − 4ac, cioè l'espressione sotto radice. Se è positivo ci sono due soluzioni reali, se è zero una doppia, se è negativo nessuna soluzione reale.

Quando si usa la formula ridotta?#

Quando b è pari: x = (−b/2 ± √(Δ/4)) / a, con Δ/4 = (b/2)² − ac. Per 3x² − 10x + 3 = 0 si ha Δ/4 = 25 − 9 = 16 e x = (5 ± 4) / 3, cioè 3 oppure ⅓, come con la formula completa.

Cosa sono le equazioni pure e spurie?#

Sono equazioni di secondo grado incomplete. Pura: manca il termine in x (b = 0), come x² − 16 = 0, e si risolve ricavando x². Spuria: manca il termine noto (c = 0), come x² − 4x = 0, e si risolve raccogliendo x; una soluzione è sempre x = 0.