Cos'è una funzione composta e come si calcola f(g(x))?

Immagina due macchine-funzione una dopo l'altra su un nastro trasportatore. La prima, g, moltiplica per 2. La seconda, f, aggiunge 3. Inserisci un 4: g lo trasforma in 8 e f trasforma l'8 in 11. L'intera catena è una funzione nuova, la funzione composta, che trasforma il 4 in 11.

La catena si scrive f(g(x)), che si legge «f di g di x», oppure (f ∘ g)(x), che si legge «f composto g». Attenzione: si scrive prima f, ma agisce prima g. La funzione più vicina alla x lavora per prima, proprio come la parentesi più interna in un'espressione.

Ci sono due tipi di esercizio.

1. Con un numero. Si lavora dall'interno verso l'esterno. Se f(x) = 2x + 1 e g(x) = x², allora f(g(3)) vuol dire prima g(3) = 9, poi f(9) = 19.

2. Con un'espressione. Si sostituisce tutta g(x), tra parentesi, al posto di ogni x di f. f(g(x)) = f(x²) = 2x² + 1. Verifica con 3: 2 · 9 + 1 = 19, come prima.

L'ordine conta. g(f(x)) vuol dire prima f: g(2x + 1) = (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1, e g(f(3)) = 7² = 49, non 19. In generale f ∘ g e g ∘ f sono funzioni diverse: la composizione non è commutativa.

Attenzione al dominio. Quello che esce dalla funzione interna deve poter entrare in quella esterna. Con f(x) = √x e g(x) = x − 3, f(g(x)) = √(x − 3) esiste solo per x ≥ 3, perché la radice quadrata di un numero negativo non è un numero reale.

Le funzioni composte si leggono anche al contrario: riconoscere che h(x) = (3x + 1)⁵ è «prima 3x + 1, poi alla quinta» si chiama scomporre la funzione, ed è la chiave della derivata della funzione composta. Una funzione e la sua inversa formano una coppia speciale: f(f⁻¹(x)) = x, perché la seconda macchina disfa la prima.

Per riconoscere una funzione composta, chiediti: «che cosa succede per primo alla x?». In h(x) = √(x² + 9), prima si eleva al quadrato e si aggiunge 9, quindi g(x) = x² + 9, poi si fa la radice, quindi f(x) = √x.

Cos'è una funzione composta, in parole semplici?#

È una funzione che si ottiene applicando una funzione e poi un'altra al risultato. L'uscita della prima entra direttamente nella seconda.

Come funzionano le funzioni composte?#

Si calcola prima la funzione interna e poi si applica quella esterna al risultato. Se serve l'espressione, si sostituisce g(x) tra parentesi al posto di ogni x di f e si semplifica.

Come si riconosce una funzione composta?#

Quando al posto della x c'è un'intera espressione, come in (3x + 1)⁵, sen(2x) o e^(x²). L'espressione dentro la parentesi o nell'esponente è la funzione interna.

f(g(x)) è uguale a g(f(x))?#

Quasi mai. Con f(x) = x + 1 e g(x) = x², f(g(x)) = x² + 1 ma g(f(x)) = (x + 1)² = x² + 2x + 1.

Come si trova il dominio di una funzione composta?#

Parti dal dominio della funzione interna g e togli i valori di x per cui g(x) non può entrare in f. Con f(x) = 1/x e g(x) = x − 2 va tolto x = 2, perché g(2) = 0.

Come si derivano le funzioni composte?#

Si usa D[f(g(x))] = f′(g(x)) · g′(x): derivata della funzione esterna, calcolata nella funzione interna, per la derivata della funzione interna. Per (3x + 1)⁵ si ottiene 5(3x + 1)⁴ · 3 = 15(3x + 1)⁴.

Che legame c'è tra funzioni composte e inverse?#

Componendo una funzione con la sua inversa si torna alla x: f(f⁻¹(x)) = x. E l'inversa di una composta inverte l'ordine: (f ∘ g)⁻¹ = g⁻¹ ∘ f⁻¹, come quando ti togli prima le scarpe e poi i calzini.