Cos'è una disequazione e come si risolve?

Un'equazione dice che due espressioni sono uguali. Una disequazione dice quale delle due è più grande. Le incontri ogni giorno: «altezza minima 120 cm per questa giostra», «limite di velocità 50 km/h», «gratis sotto i 6 anni».

I quattro simboli principali:

Trucco: la parte aperta del simbolo guarda sempre il numero più grande, e il trattino sotto ≤ e ≥ significa «o uguale».

Senza lettere, come 3 < 7, si parla di **disuguaglianza**: è vera o falsa. Con un'incognita, come x + 2 > 5, è una disequazione. L'equazione x + 2 = 5 ha una sola soluzione, x = 3. La disequazione x + 2 > 5 ne ha infinite: 3,1; 4; 10; un milione… Per questo anche la soluzione si scrive come disuguaglianza, x > 3, oppure come intervallo: ]3; +∞[ (si trova anche scritto (3; +∞)).

Le soluzioni si rappresentano sulla retta dei numeri:

• Pallino vuoto per < e >: l'estremo non è compreso (intervallo aperto).
• Pallino pieno per ≤ e ≥: l'estremo è compreso (intervallo chiuso).
• Poi si evidenzia con una linea continua la parte di retta dove stanno le soluzioni.

Risolvere una disequazione di primo grado è quasi come risolvere un'equazione: puoi aggiungere, togliere, moltiplicare o dividere entrambi i membri per lo stesso numero (principi di equivalenza). C'è però una regola in più: se moltiplichi o dividi entrambi i membri per un numero negativo, devi invertire il verso della disequazione. Perché? 2 < 5 è vero, ma moltiplicando per −1 ottieni −2 e −5, e sulla retta −2 sta a *destra* di −5, quindi −2 > −5. L'ordine si rovescia, e il verso pure. Ecco perché i numeri negativi richiedono attenzione.

Una disequazione doppia come −2 < x ≤ 4 significa che x è compreso tra −2 e 4: maggiore di −2 e al massimo 4. È l'intervallo ]−2; 4].

In una disequazione doppia come −3 < 2x + 1 ≤ 9, fai la stessa cosa su tutte e tre le parti: togli 1 (−4 < 2x ≤ 8) e dividi per 2 (−2 < x ≤ 4).

Cos'è una disequazione?#

È una disuguaglianza con un'incognita, che usa <, >, ≤ o ≥ al posto di =. Per esempio x + 1 > 4 si legge «x più 1 è maggiore di 4» ed è vera per ogni x maggiore di 3.

Come si risolvono le disequazioni di primo grado?#

Come le equazioni: togli le parentesi, porta le x da una parte e isola la x. L'unica differenza: se moltiplichi o dividi per un numero negativo, inverti il verso. Alla fine scrivi le soluzioni come disuguaglianza o come intervallo.

Come si scrivono le soluzioni di una disequazione?#

In tre modi equivalenti: come disuguaglianza (x ≤ 5), come intervallo (]−∞; 5]) o con il disegno sulla retta (pallino pieno nel 5 e linea verso sinistra). La parentesi quadra rivolta verso l'esterno indica che l'estremo è escluso.

Cos'è il delta nelle disequazioni di secondo grado?#

Δ = b² − 4ac dice quante radici ha l'equazione associata. Per x² − 5x + 6 < 0: Δ = 25 − 24 = 1 > 0, le radici sono 2 e 3, e poiché a > 0 il trinomio è negativo tra le radici, quindi 2 < x < 3.

Come si risolvono le disequazioni fratte?#

Si studia il segno del numeratore e del denominatore separatamente e si fa il grafico dei segni. Per (x − 1)/(x + 2) > 0: il numeratore è positivo per x > 1, il denominatore per x > −2; la frazione è positiva quando hanno lo stesso segno, cioè x < −2 oppure x > 1. Il denominatore non può mai essere zero.

Cos'è un sistema di disequazioni?#

Sono due o più disequazioni che devono essere vere insieme. Si risolve ciascuna e si prende la parte comune: il sistema x > 1 e x ≤ 4 ha per soluzione 1 < x ≤ 4.

Come si risolvono le disequazioni con valore assoluto?#

|x| < 3 vuol dire che x dista meno di 3 da zero: −3 < x < 3. |x| > 3 vuol dire x < −3 oppure x > 3. Per |x − 1| < 3 risolvi −3 < x − 1 < 3 e ottieni −2 < x < 4.