Cos'è la funzione inversa e come si calcola?

Pensa a una funzione come a una macchina. f(x) = 2x + 1 prende il 3, lo moltiplica per 2 (6), aggiunge 1 e restituisce 7. La macchina inversa lavora al contrario: prende il 7, toglie 1 (6), divide per 2 e restituisce il 3. Ogni passaggio viene disfatto, in ordine inverso, come quando ti togli prima le scarpe e poi i calzini.

L'inversa di f si scrive f⁻¹(x) e si legge «f alla meno uno di x» o «f inversa di x». Il −1 non è un esponente: f⁻¹(x) non vuol dire 1/f(x).

Per calcolarla si usa il metodo dello scambio:

1. Scrivi y = f(x), per esempio y = 2x + 1.
2. Scambia x e y: x = 2y + 1.
3. Ricava y: x − 1 = 2y, quindi y = (x − 1)/2.

Quindi f⁻¹(x) = (x − 1)/2. Verifica: f(3) = 7 e f⁻¹(7) = 6/2 = 3. In generale (f ∘ f⁻¹)(x) = x e (f⁻¹ ∘ f)(x) = x: componendo una funzione con la sua inversa si ottiene l'identità, cioè si torna al punto di partenza.

Sul grafico, scambiare x e y trasforma ogni punto (a; b) in (b; a). È la simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, y = x. Se (3; 7) sta sul grafico di f, allora (7; 3) sta sul grafico di f⁻¹.

Non tutte le funzioni sono invertibili. f(x) = x² manda sia 3 sia −3 in 9: l'inversa non saprebbe a quale tornare. Una funzione è invertibile se è biiettiva (o biunivoca): iniettiva, cioè ogni immagine viene da un solo x, e suriettiva sull'insieme di arrivo. Sul grafico, se una retta orizzontale taglia la curva più di una volta, la funzione non è iniettiva. Un caso utile: le funzioni strettamente monotòne sono sempre iniettive. Se non lo è, si restringe il dominio: per x ≥ 0, f(x) = x² è strettamente crescente e la sua inversa è f⁻¹(x) = √x.

Inoltre il dominio di f⁻¹ è l'insieme immagine di f, e l'immagine di f⁻¹ è il dominio di f.

Conosci già alcune coppie famose: x² e √x (per x ≥ 0), x³ e ∛x, 10ˣ e log x (vedi i logaritmi), eˣ e ln x, e sen x e arcsen x su un dominio ristretto.

Con una funzione di secondo grado, restringi prima il dominio. f(x) = (x − 3)² + 1 con x ≥ 3: scambiando, x = (y − 3)² + 1, quindi (y − 3)² = x − 1 e y = 3 + √(x − 1). Si prende la radice positiva perché y ≥ 3. Quindi f⁻¹(x) = 3 + √(x − 1) per x ≥ 1. Verifica: f(4) = 2 e f⁻¹(2) = 3 + 1 = 4.

Cos'è la funzione inversa, in parole semplici?#

È la funzione che disfa un'altra funzione. Se f trasforma 3 in 7, l'inversa trasforma 7 in 3. Applicando prima f e poi f⁻¹ torni al punto di partenza.

Come si calcola la funzione inversa?#

Scrivi y = f(x), scambia x e y e ricava y. Quello che ottieni è f⁻¹(x). Fai sempre la verifica con un numero.

Come si disegna il grafico della funzione inversa?#

Disegna il grafico di f e la bisettrice y = x, poi rifletti alcuni punti: (a; b) diventa (b; a). Unendo i punti riflessi ottieni il grafico di f⁻¹. L'esempio classico sono i grafici di 2ˣ e di log₂ x.

Quando una funzione è invertibile?#

Quando è biiettiva: ogni immagine viene da un solo valore di x. Le funzioni strettamente monotòne su un intervallo lo sono sull'insieme immagine. Altre, come x², diventano invertibili restringendo il dominio.

Cosa sono le funzioni goniometriche inverse?#

arcsen, arccos e arctg danno l'angolo a partire da un valore: arcsen(0,5) = 30°, cioè π/6. Poiché il seno si ripete, si restringe il seno all'intervallo da −π/2 a π/2, che diventa l'insieme immagine di arcsen (il cui dominio è [−1; 1]). Sulla calcolatrice si trovano come sin⁻¹, cos⁻¹ e tan⁻¹.

Che legame c'è tra funzioni inverse e funzioni composte?#

Componendo una funzione con la sua inversa si ottiene l'identità: f(f⁻¹(x)) = x. È il modo più rapido per verificare che due funzioni siano inverse.

Come si deriva una funzione inversa?#

Si usa (f⁻¹)′(x) = 1/f′(f⁻¹(x)). Per f(x) = x³, f⁻¹(8) = 2 e f′(2) = 12, quindi la derivata di ∛x nel punto 8 vale 1/12.