Cos'è un logaritmo e come si calcola?

Sai già calcolare «2 elevato alla 3» (fa 8). Il logaritmo fa la domanda al contrario: «2 elevato a quale esponente fa 8?». Questa domanda si scrive log₂ 8, si legge «logaritmo in base 2 di 8» e la risposta è 3. La definizione è:

log_b x = y significa esattamente b^y = x

Il numero piccolo b è la base (positiva e diversa da 1), x è l'argomento (deve essere positivo) e il risultato y è un esponente. Se sei sicuro con le potenze, sai già quasi tutto: logaritmo e potenza sono due modi di scrivere lo stesso fatto, e il logaritmo «annulla» la potenza come la sottrazione annulla l'addizione.

Due basi hanno un tasto tutto loro sulla calcolatrice. LOG è la base 10, il logaritmo decimale: log 1000 = 3 perché 10³ = 1000. LN è la base e, il logaritmo naturale o neperiano, dove e ≈ 2,718 è un numero speciale che compare nella crescita, nell'interesse composto e nell'analisi. ln e = 1 per lo stesso motivo per cui log 10 = 1. Attenzione: in alcuni libri italiani «log» senza base indica il logaritmo naturale; in questa pagina log senza base è sempre in base 10.

A che cosa servono? A ridurre intervalli enormi a numeri maneggevoli. log 10 = 1, log 1 000 000 = 6, log 1 000 000 000 = 9. Ogni passo di 1 vuol dire «dieci volte di più». È così che funziona una scala logaritmica: il pH (pH 3 è dieci volte più acido di pH 4), i decibel (ogni 10 dB in più l'intensità sonora è dieci volte maggiore) ed è per questo che i grandi numeri in notazione scientifica si confrontano così bene: l'esponente di 10 è, più o meno, il logaritmo decimale.

I logaritmi trasformano anche i prodotti in somme. Nel 1614 il matematico scozzese John Napier (Nepero in italiano) pubblicò le prime tavole dei logaritmi, e poco dopo Henry Briggs costruì quelle in base 10. Per più di 300 anni scienziati e ingegneri moltiplicarono numeri grandi cercando i loro logaritmi su una tavola, sommandoli e ritrovando il risultato. Il regolo calcolatore funzionava allo stesso modo.

Infine, il logaritmo è lo strumento per risolvere le equazioni esponenziali, in cui l'incognita sta all'esponente, come 3^x = 20. Con i soliti passaggi algebrici la x non scende da lì; con il logaritmo, sì.

Per semplificare più logaritmi, usa prima la proprietà della potenza per portare all'esponente i numeri davanti, poi riunisci tutto in un solo logaritmo con le proprietà del prodotto e del quoziente. Per esempio, 2 log 5 + log 4 = log 25 + log 4 = log 100 = 2.

Cos'è un logaritmo, spiegato in modo semplice?#

È l'esponente che manca. log 100 = 2 perché bisogna elevare 10 alla seconda per ottenere 100. Un logaritmo è un esponente scritto al contrario.

Come si fanno i logaritmi senza calcolatrice?#

Scrivi l'argomento come potenza della base: log₂ 32 = 5 perché 32 = 2⁵. Funziona anche con frazioni e radici, log₂ (1/4) = −2 e log₄ 2 = ½. Se non è una potenza esatta puoi solo stimare: log₂ 50 è tra 5 e 6, perché 32 < 50 < 64.

Come si risolvono logaritmi con base diversa?#

Si portano tutti alla stessa base con il cambiamento di base, log_b x = log x : log b. Per esempio log₂ 50 = log 50 : log 2 ≈ 5,64, che è anche il modo di usare la calcolatrice per qualsiasi base.

Come si trova la base di un logaritmo?#

Riscrivi in forma di potenza. Se log_b 49 = 2, allora b² = 49 e, siccome la base deve essere positiva, b = 7.

Cos'è ln nei logaritmi?#

ln indica il logaritmo naturale, in base e ≈ 2,718. ln e = 1, ln 1 = 0, ed è la funzione inversa dell'esponenziale y = eˣ.

Cos'è una funzione logaritmica?#

È y = log_b x, la funzione inversa dell'esponenziale y = bˣ: i due grafici sono simmetrici rispetto alla retta y = x. È definita solo per x > 0 e passa sempre per il punto (1, 0).

Cos'è un'equazione logaritmica?#

È un'equazione in cui l'incognita compare nell'argomento di un logaritmo, come log₂ x + log₂ (x − 2) = 3. Si risolve unendo i logaritmi con le proprietà, passando alla forma di potenza e controllando le condizioni di esistenza.