Matematica
Che cosa sono i numeri al cubo e la radice cubica, e come si calcola una radice cubica?
Risposta veloce
Elevare un numero al cubo significa moltiplicarlo tre volte per sé stesso, come 4³ = 4 × 4 × 4 = 64. La radice cubica fa l'operazione inversa, quindi ∛64 = 4.
In una frase
Un numero al cubo è il risultato di moltiplicare un numero tre volte per sé stesso, e la radice cubica ti riporta al numero di partenza.
Spiegazione
Costruisci un cubo con i mattoncini. Se è lungo 2 mattoncini, largo 2 e alto 2, ne usa 2 × 2 × 2 = 8. Un cubo di 3 per 3 per 3 ne usa 3 × 3 × 3 = 27. Il nome viene da qui: i cubi perfetti sono i numeri di mattoncini che formano un cubo completo, così come i quadrati perfetti formano un quadrato.
mattoncini
scatola
righello
Il cubo si scrive con un piccolo 3, l'esponente: n³ = n × n × n, che si legge «n al cubo». Così 5³ = 5 × 5 × 5 = 125. È anche il volume di un cubo con spigolo n: un cubo con spigolo di 5 cm ha un volume di 125 cm³.
La radice cubica fa il percorso opposto. Risponde alla domanda «quale numero, elevato al cubo, dà questo?». Il suo simbolo è il segno di radice con un piccolo 3, l'indice: ∛.
Se n³ = x, allora ∛x = n. Per esempio, 4³ = 64, quindi ∛64 = 4.
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n³ | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | 1.000 |
| n | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n³ | 1.331 | 1.728 | 2.197 | 2.744 | 3.375 | 4.096 | 4.913 | 5.832 | 6.859 | 8.000 |
Alcune cose rendono i cubi diversi dai quadrati:
- I numeri negativi. Tre segni meno moltiplicati danno meno, quindi (−3)³ = −27. Per questo un numero negativo ha una radice cubica: ∛(−27) = −3. (Un numero negativo non ha radice quadrata tra i numeri reali.)
- Una sola risposta. 25 ha due radici quadrate, 5 e −5, ma 125 ha una sola radice cubica, 5.
- Frazioni e decimali. (1/2)³ = 1/8 e 0,2³ = 0,008. Elevando al cubo un numero tra 0 e 1, diventa più piccolo.
La maggior parte dei numeri non è un cubo perfetto, quindi la radice cubica non è esatta: ∛3 ≈ 1,442 e ∛50 ≈ 3,684. Si può sempre stimare: 50 è tra 27 (3³) e 64 (4³), quindi ∛50 è tra 3 e 4. Il cubo è un caso particolare delle potenze, e la radice cubica è la cugina della radice quadrata.
Esempi
- 7³ = 7 × 7 × 7 = 49 × 7 = 343
- (−4)³ = (−4) × (−4) × (−4) = 16 × (−4) = −64
- ∛216 = 6, perché 6 × 6 × 6 = 216
- ∛1.000 = 10 e ∛1.000.000 = 100
- (2/3)³ = (2 × 2 × 2) : (3 × 3 × 3) = 8/27
- Due regolarità curiose: 1 = 1³, 3 + 5 = 8 = 2³, 7 + 9 + 11 = 27 = 3³ (gruppi di numeri dispari), e 1³ + 2³ + 3³ = 36 = (1 + 2 + 3)².
Errori comuni
- Moltiplicare per 3 invece di elevare al cubo. 4³ è 4 × 4 × 4 = 64, non 4 × 3 = 12.
- Fermarsi a due fattori. 5 × 5 = 25 è 5², non 5³. Soluzione: scrivi tutti e tre i 5.
- Pensare che ∛(−8) non esista. Vale −2, perché (−2)³ = −8.
- Elevare al cubo una somma pezzo per pezzo. (2 + 3)³ = 5³ = 125, ma 2³ + 3³ = 8 + 27 = 35. Prima si somma, poi si eleva.
Passo dopo passo
Passo dopo passo
- Guarda l'ultima cifraOgni cifra da 0 a 9 dà un'ultima cifra diversa quando la elevi al cubo: 1→1, 2→8, 3→7, 4→4, 5→5, 6→6, 7→3, 8→2, 9→9, 0→0. L'ultima cifra di un cubo perfetto ti dice quindi l'ultima cifra della sua radice.
- Copri le ultime tre cifreGuarda cosa rimane. In 13.824 rimane 13.
- Trova la cifra delle decineCerca il cubo più grande che non supera ciò che rimane: 2³ = 8 ≤ 13 < 27, quindi la cifra delle decine è 2.
- Metti insieme13.824 finisce con 4, quindi la radice finisce con 4: ∛13.824 = 24.
- Verifica24 × 24 × 24 = 576 × 24 = 13.824.
Questo trucco funziona solo con i cubi perfetti (fino a 6 cifre). Per gli altri numeri, stima tra due cubi o usa la calcolatrice: su una scientifica, premi il tasto ∛ (spesso SHIFT e poi √) oppure eleva il numero a (1 : 3). In un foglio di calcolo, =POTENZA(A1;1/3) fa lo stesso.
Esercizi
Numeri al cubo e radice cubica
Prova ogni esercizio, poi controlla la risposta.
- Calcola 3³.
Mostra la soluzione
3 × 3 × 3 = 27 - Calcola 6³.
Mostra la soluzione
6 × 6 × 6 = 36 × 6 = 216 - Calcola 10³.
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1.000 - Calcola ∛8.
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2 × 2 × 2 = 8, quindi 2 - Calcola ∛343.
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7 × 7 × 7 = 343, quindi 7 - Calcola ∛729.
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9 × 9 × 9 = 729, quindi 9 - Calcola (−5)³.
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(−5) × (−5) × (−5) = 25 × (−5) = −125 - Calcola ∛(−64).
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(−4)³ = −64, quindi −4 - Calcola 0,2³.
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0,2 × 0,2 × 0,2 = 0,008 - Calcola (2/3)³.
Mostra la soluzione
8 : 27 = 8/27 - 100 è un cubo perfetto?
Mostra la soluzione
4³ = 64 e 5³ = 125, quindi no. - Tra quali due numeri interi si trova ∛50?
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3³ = 27 e 4³ = 64, quindi tra 3 e 4 (circa 3,68). - Calcola ∛1.728.
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12 × 12 × 12 = 1.728, quindi 12 - Calcola ∛4.096.
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16 × 16 × 16 = 4.096, quindi 16 - Calcola ∛13.824 senza calcolatrice.
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Finisce con 4, quindi la radice finisce con 4; 13 è tra 2³ e 3³, quindi 24. - Che cosa è più grande, 2³ + 3³ o (2 + 3)³?
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8 + 27 = 35 e 5³ = 125, quindi è più grande (2 + 3)³.
Problemi
I cubi nella vita reale
Prova ogni esercizio, poi controlla la risposta.
- Una scatola a forma di cubo ha un volume di 1.000 cm³. Quanto è lungo ogni spigolo?
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∛1.000 = 10 cm - Si costruisce un cubo grande con cubetti, 3 lungo ogni spigolo. Quanti cubetti servono?
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3³ = 27 - Un serbatoio d'acqua a forma di cubo ha spigoli di 2 m. Quanti litri contiene? (1 m³ = 1.000 litri)
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2³ = 8 m³, quindi 8.000 litri - Un cubetto di ghiaccio ha un volume di 27 cm³. Quanto è lungo ogni spigolo?
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∛27 = 3 cm - Un cubo di legno con spigolo di 5 cm viene dipinto all'esterno e poi tagliato in cubetti da 1 cm. Quanti cubetti non hanno vernice?
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Quelli non dipinti formano all'interno un cubo 3 × 3 × 3: 27 - Lo spigolo di un cubo passa da 3 cm a 6 cm. Quante volte più grande diventa il volume?
Mostra la soluzione
216 : 27 = 8 volte (2³ = 8)
Domande frequenti
Cos'è la radice cubica di un numero?
È il numero che, moltiplicato tre volte per sé stesso, dà il numero di partenza. La radice cubica di 27 è 3, perché 3 × 3 × 3 = 27.
Qual è la tabella dei numeri al cubo?
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729 e 1.000 per i numeri da 1 a 10. Le tabelle sopra arrivano fino a 20³ = 8.000.
Qual è la radice cubica di 64, 125 e 343?
∛64 = 4, ∛125 = 5 e ∛343 = 7. Ognuna, elevata al cubo, ridà il numero.
Come si calcola la radice cubica senza calcolatrice?
Se è un cubo perfetto, l'ultima cifra ti dà le unità della radice e il numero che resta coprendo le ultime tre cifre ti dà le decine. Altrimenti, trova tra quali due cubi si trova il numero e stima.
Come si fa la radice cubica sulla calcolatrice scientifica?
Usa il tasto ∛, spesso come seconda funzione con SHIFT. Se non c'è, scrivi il numero, premi il tasto della potenza e inserisci (1 : 3).
Qual è la radice cubica di 2 e di 3?
Non sono esatte: ∛2 ≈ 1,260 e ∛3 ≈ 1,442. Le loro cifre decimali non finiscono mai e non si ripetono.
Come si scrive la radice cubica sul computer?
In Word, sotto Windows, scrivi 221B e premi Alt+X: compare il simbolo ∛. Per l'esponente ³ usa il formato apice.
Quali numeri sono sia quadrati sia cubi?
1, 64, 729 e 4.096. Sono le seste potenze: 1⁶, 2⁶, 3⁶ e 4⁶. Per esempio, 64 = 8² = 4³.
Quiz veloce
Numeri al cubo e radice cubica
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