Matematica

Che cosa sono i triangoli simili e come si trova un lato mancante?

Risposta veloce

I triangoli simili hanno la stessa forma ma non per forza la stessa grandezza. Gli angoli sono congruenti e i lati corrispondenti sono in proporzione, con lo stesso rapporto di similitudine.

13–16 anniScuola secondaria

In una frase

Due triangoli sono simili quando uno è un ingrandimento (o una riduzione) esatto dell'altro: stessi angoli e lati in proporzione.

Spiegazione

Fotografa un triangolo con il telefono e ingrandisci. Il triangolo diventa più grande, ma la forma non cambia: gli angoli restano uguali e tutti i lati crescono nella stessa proporzione. Il triangolo ingrandito e l'originale sono simili. I triangoli simili sono ovunque: un albero e la sua ombra, una rampa e i suoi sostegni, una piantina e il terreno vero.

albero
sole
righello

Un albero e un bastone al sole formano con le loro ombre due triangoli simili.

Due triangoli sono simili quando:

gli angoli corrispondenti sono congruenti, e
i lati corrispondenti sono in proporzione.

Il rapporto fra lati corrispondenti (i lati omologhi) è il rapporto di similitudine, di solito indicato con k. Se il triangolo ABC è simile al triangolo DEF, si scrive ABC ~ DEF. L'ordine delle lettere conta: A corrisponde a D, B a E e C a F. Allora

DE : AB = EF : BC = DF : AC = k

Questa è la «formula» dei triangoli simili: una frazione per ogni coppia di lati omologhi, tutte uguali. In pratica si lavora con rapporti e proporzioni.

Per dimostrare che due triangoli sono simili non serve controllare tutto. Basta uno dei criteri di similitudine:

Primo criterio (AA): due angoli sono congruenti. Anche il terzo lo è, perché la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°.
Secondo criterio (LAL): due lati sono in proporzione e l'angolo compreso è congruente.
Terzo criterio (LLL): i tre lati sono in proporzione.

Un caso molto frequente è una retta parallela a un lato del triangolo. Il triangolino in alto e il triangolo intero hanno un angolo in comune, e la parallela rende congruenti gli altri (angoli corrispondenti). Quindi sono simili per il primo criterio. È la stessa idea del teorema di Talete: un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali forma segmenti proporzionali.

Le lunghezze si moltiplicano per k, ma le aree si moltiplicano per k². Se raddoppi tutti i lati, l'area diventa quattro volte più grande, perché raddoppiano sia la base sia l'altezza.

Esempi

Triangolo 1	Triangolo 2	Verifica	Simili?
lati 3, 4, 5	lati 6, 8, 10	6/3 = 8/4 = 10/5 = 2	sì, k = 2
angoli 40°, 60°	angoli 60°, 80°	terzi angoli: 80° e 40°	sì (primo criterio)
lati 4, 6, 8	lati 6, 9, 13	6/4 = 1,5; 9/6 = 1,5; 13/8 = 1,625	no
lati 5 e 8, angolo compreso 50°	lati 10 e 16, angolo compreso 50°	10/5 = 16/8 = 2	sì (secondo criterio)

Trovare un lato. ABC ~ DEF con AB = 4 cm, BC = 6 cm e DE = 10 cm. Il rapporto è k = 10 : 4 = 2,5, quindi EF = 6 · 2,5 = 15 cm.

Le ombre. Una persona alta 1,5 m proietta un'ombra di 2 m. Nello stesso momento un albero proietta un'ombra di 12 m. I raggi del sole arrivano con lo stesso angolo, quindi i triangoli sono simili: altezza : ombra è uguale per entrambi. Altezza dell'albero = 1,5 · 12 : 2 = 9 m.

Errori comuni

Abbinare i lati sbagliati. Rimedio: abbina i lati in base all'angolo opposto, il minore con il minore e il maggiore con il maggiore. Se un triangolo è ruotato o ribaltato, ridisegnali nella stessa posizione.
Sommare invece di moltiplicare. Passare da 4 a 10 è «· 2,5», non «+ 6». Tutti i lati si moltiplicano per lo stesso rapporto.
Usare k per l'area. Se k = 3, l'area diventa 3² = 9 volte più grande, non 3.
Usare solo un pezzo di lato con la parallela. Confronta il triangolino con il triangolo grande intero: usa AB, non solo il segmento DB.

Passo dopo passo

Verifica che siano similiUsa uno dei tre criteri. Spesso bastano due angoli congruenti o una retta parallela.
Abbina i verticiDecidi quale vertice corrisponde a quale. Se aiuta, ridisegna i triangoli affiancati, nella stessa posizione.
Trova il rapporto di similitudineScegli una coppia di lati omologhi noti: k = lato nuovo : lato di partenza.
Calcola il lato mancanteMoltiplica per k per passare dal piccolo al grande; dividi per k per il percorso inverso.
ControllaIl triangolo più grande deve avere i lati più lunghi, e tutti i rapporti devono dare lo stesso k.

Puoi anche scrivere una proporzione e usare la proprietà fondamentale (prodotto dei medi uguale al prodotto degli estremi): se 4 : 10 = 6 : x, allora 4x = 60 e x = 15. È lo stesso calcolo fatto con il rapporto k.

Esercizi

Triangoli simili

Prova ogni esercizio, poi controlla la risposta.

Un triangolo con lati di 2, 3 e 4 cm viene ingrandito con rapporto 3. Quanto misurano i nuovi lati?
Mostra la soluzione
2 · 3, 3 · 3, 4 · 3 = 6, 9 e 12 cm
I triangoli con lati 5, 12, 13 e 10, 24, 26 sono simili?
Mostra la soluzione
10/5 = 24/12 = 26/13 = 2: sì, con k = 2
I triangoli con lati 3, 5, 6 e 6, 10, 11 sono simili?
Mostra la soluzione
6/3 = 2 e 10/5 = 2, ma 11/6 ≈ 1,83: no
Un triangolo ha angoli di 50° e 70°, un altro di 70° e 60°. Sono simili?
Mostra la soluzione
Il terzo angolo del primo è 180° − 50° − 70° = 60°. Entrambi hanno 50°, 60° e 70°: sì (primo criterio)
Un triangolo ha angoli di 45° e 85°, un altro di 45° e 55°. Sono simili?
Mostra la soluzione
Terzi angoli: 50° e 80°. Gli angoli sono 45°, 50°, 85° e 45°, 55°, 80°: no
ABC ~ PQR, con AB = 6 cm e PQ = 9 cm. Qual è il rapporto di similitudine da ABC a PQR?
Mostra la soluzione
9 : 6 = 1,5
Negli stessi triangoli, BC = 8 cm. Trova QR.
Mostra la soluzione
8 · 1,5 = 12 cm
Negli stessi triangoli, PR = 15 cm. Trova AC.
Mostra la soluzione
15 : 1,5 = 10 cm
Due triangoli simili hanno lati omologhi di 4 cm e 10 cm. Il minore ha perimetro 15 cm. Qual è il perimetro del maggiore?
Mostra la soluzione
k = 10 : 4 = 2,5, quindi 15 · 2,5 = 37,5 cm
Due triangoli simili hanno rapporto 3. Il minore ha area 5 cm². Qual è l'area del maggiore?
Mostra la soluzione
5 · 3² = 45 cm²
Due triangoli simili hanno aree di 16 cm² e 36 cm². Qual è il rapporto fra i lati?
Mostra la soluzione
√16 : √36 = 4 : 6 = 2 : 3
Un triangolo ha due lati di 6 cm e 9 cm che formano un angolo di 40°; un altro ha lati di 4 cm e 6 cm che formano un angolo di 40°. Sono simili?
Mostra la soluzione
6/4 = 9/6 = 1,5 e l'angolo compreso è congruente: sì (secondo criterio)
Nel triangolo ABC, D sta su AB ed E su AC, con DE parallelo a BC. AD = 4 cm, AB = 10 cm e DE = 6 cm. Trova BC.
Mostra la soluzione
ADE ~ ABC (primo criterio), k = 10 : 4 = 2,5, quindi BC = 6 · 2,5 = 15 cm
Nella stessa figura, AE = 5 cm. Trova AC ed EC.
Mostra la soluzione
AC = 5 · 2,5 = 12,5 cm, quindi EC = 12,5 − 5 = 7,5 cm
In un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa la divide in proiezioni di 4 cm e 9 cm. Trova l'altezza h.
Mostra la soluzione
I due triangoli più piccoli sono simili: h/4 = 9/h, quindi h² = 36: h = 6 cm (secondo teorema di Euclide)

Problemi

I triangoli simili nella vita reale

Prova ogni esercizio, poi controlla la risposta.

Una studentessa alta 1,6 m proietta un'ombra di 2 m. Alla stessa ora un pennone proietta un'ombra di 15 m. Quanto è alto il pennone?
Mostra la soluzione
1,6 : 2 = h : 15, quindi h = 1,6 · 15 : 2 = 12 m
Una rampa sale in modo uniforme. Un sostegno alto 0,5 m si trova a 2 m (misurati a terra) dall'inizio della rampa, e la rampa finisce a 8 m dall'inizio. A che altezza arriva?
Mostra la soluzione
0,5 : 2 = h : 8, quindi h = 2 m
Metti uno specchio a terra a 10 m da un palazzo e ti allontani finché non vedi nello specchio la cima del palazzo. Sei a 2 m dallo specchio e i tuoi occhi sono a 1,5 m da terra. Quanto è alto il palazzo?
Mostra la soluzione
Gli angoli allo specchio sono congruenti, quindi i triangoli sono simili: h = 1,5 · 10 : 2 = 7,5 m
Una vela triangolare è alta 6 m con una base di 4 m. Il modellino di una barca ha una vela simile alta 30 cm. Quanto misura la sua base?
Mostra la soluzione
k = 30 : 600 = 0,05, quindi 400 cm · 0,05 = 20 cm
In una piantina, un giardino triangolare ha lati di 3 cm, 4 cm e 5 cm. Il lato minore reale misura 12 m. Trova il lato maggiore reale e l'area reale.
Mostra la soluzione
k = 1200 cm : 3 cm = 400, quindi il lato maggiore misura 5 · 400 cm = 20 m. È un triangolo rettangolo con cateti di 12 m e 16 m: area = ½ · 12 · 16 = 96 m²

Domande frequenti

Quando due triangoli sono simili?

Quando hanno gli angoli corrispondenti congruenti e i lati corrispondenti in proporzione. Per dimostrarlo basta uno dei tre criteri di similitudine.

Quali sono i criteri di similitudine dei triangoli?

Primo criterio: due angoli congruenti. Secondo criterio: due lati in proporzione e l'angolo compreso congruente. Terzo criterio: tre lati in proporzione.

Che legame c'è con il teorema di Talete?

Se tagli un triangolo con una parallela a un lato, ottieni un triangolino simile a quello grande. Il teorema di Talete descrive proprio questi segmenti proporzionali.

Che differenza c'è fra triangoli simili e congruenti?

I triangoli simili hanno la stessa forma; i triangoli congruenti hanno la stessa forma e la stessa grandezza. Sono triangoli simili con rapporto 1. Due triangoli possono quindi essere simili ma non congruenti.

Qual è il simbolo di similitudine?

Si usa ~: ABC ~ DEF si legge «il triangolo ABC è simile al triangolo DEF». Per la congruenza si usa ≅.

Quiz veloce

Triangoli simili

Metti alla prova ciò che sai con 4 domande veloci.

Domanda 1 di 4

Due triangoli hanno entrambi angoli di 30° e 70°. Che cosa puoi dire?

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Area delle figure piane (Sfida con i decimali) · Serie di esercizi 1

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