Matematica
Che cosa sono i triangoli congruenti e come si dimostra che due triangoli sono congruenti?
Risposta veloce
Due triangoli congruenti hanno esattamente la stessa forma e la stessa grandezza, con lati e angoli corrispondenti uguali. Si dimostra con i tre criteri di congruenza.
In una frase
Due triangoli sono congruenti quando sono copie esatte: ogni lato e ogni angolo dell'uno coincide con un lato e un angolo dell'altro.
Spiegazione
Ritaglia un triangolo di carta e usalo come sagoma per ritagliarne un secondo. I due pezzi si sovrappongono perfettamente, anche se magari devi ruotarne uno o capovolgerlo. Sono congruenti: stessa forma e stessa grandezza. Traslazioni, rotazioni e simmetrie non cambiano né lunghezze né angoli: per questo queste trasformazioni danno sempre una copia congruente.
forbici
righello
matita
Si scrive ABC ≅ DEF e si legge «il triangolo ABC è congruente al triangolo DEF». L'ordine delle lettere dice quali elementi si corrispondono: A con D, B con E, C con F. Quindi AB ≅ DE, BC ≅ EF e AC ≅ DF, e sono congruenti gli angoli in A e D, in B e E, in C e F.
Un triangolo ha sei elementi (tre lati e tre angoli), ma non serve controllarli tutti. Bastano tre dati scelti bene. Sono i criteri di congruenza dei triangoli:
- Primo criterio (LAL): due lati e l'angolo fra essi compreso sono ordinatamente congruenti.
- Secondo criterio (ALA): un lato e i due angoli a esso adiacenti sono ordinatamente congruenti. Nella forma generalizzata bastano un lato e due angoli qualsiasi, purché nella stessa posizione rispetto al lato, perché due angoli fissano il terzo (la somma è 180°).
- Terzo criterio (LLL): i tre lati sono ordinatamente congruenti.
Per i triangoli rettangoli c'è anche un criterio speciale: se hanno congruenti l'ipotenusa e un cateto, sono congruenti.
Due combinazioni non bastano. Tre angoli congruenti dimostrano solo che i triangoli sono simili: stessa forma, forse grandezza diversa. Due lati e un angolo non compreso fra essi possono dare due triangoli diversi (tranne nel caso rettangolo).
Una volta dimostrato che due triangoli sono congruenti, anche tutti gli altri elementi corrispondenti sono congruenti. È così che si usano nelle dimostrazioni, per esempio per provare che gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono congruenti.
Esempi
| Dati congruenti nei due triangoli | Criterio | Congruenti? |
|---|---|---|
| lati di 5, 7 e 8 cm | terzo (LLL) | sì |
| lati di 6 e 9 cm con un angolo compreso di 50° | primo (LAL) | sì |
| angoli di 40° e 70° adiacenti a un lato di 10 cm | secondo (ALA) | sì |
| angoli di 30°, 60° e 90°, ipotenuse di 10 cm e 12 cm | nessuno | no (solo simili) |
| angolo retto, ipotenusa di 13 cm, un cateto di 5 cm | ipotenusa e cateto | sì (l'altro cateto è 12 cm in entrambi) |
Una dimostrazione. Nel deltoide (aquilone) ABCD, AB ≅ AD e CB ≅ CD. ABC ≅ ADC? AB ≅ AD (ipotesi), CB ≅ CD (ipotesi) e AC è un lato in comune. Tre lati congruenti: terzo criterio, quindi sì. Di conseguenza anche gli angoli in B e in D sono congruenti.
Errori comuni
- Usare tre angoli. Gli angoli congruenti dimostrano solo la similitudine. Rimedio: serve almeno un lato congruente.
- Usare il primo criterio con l'angolo sbagliato. L'angolo deve essere compreso fra i due lati. Altrimenti il criterio non vale.
- Scrivere le lettere in un altro ordine. ABC ≅ DEF vuol dire A↔D, B↔E, C↔F. Rimedio: abbina prima i vertici con angoli congruenti, poi scrivi.
- Dimenticare i dati «gratis». Un lato in comune, gli angoli opposti al vertice e gli angoli formati da rette parallele sono congruenti anche se il testo non lo dice. Cercali per primi.
Passo dopo passo
Passo dopo passo
- Segna la figuraMetti gli stessi segni sui lati congruenti e sugli angoli congruenti dati nell'ipotesi.
- Cerca i dati gratisLato in comune, angoli opposti al vertice, angoli alterni o corrispondenti fra parallele, angolo retto.
- Scegli il criterioPrimo, secondo o terzo? Nel primo criterio controlla che l'angolo sia compreso fra i lati.
- Scrivi la dimostrazioneNomina i triangoli con i vertici corrispondenti nello stesso ordine, giustifica ogni dato e cita il criterio.
- ConcludiGli altri lati e angoli corrispondenti sono ora congruenti.
Esercizi
Triangoli congruenti
Prova ogni esercizio, poi controlla la risposta.
- Due triangoli equilateri hanno lati di 5 cm. Sono congruenti?
Mostra la soluzione
I tre lati sono congruenti: sì (terzo criterio) - Due triangoli hanno lati di 4 cm, 6 cm e 7 cm. Congruenti? Quale criterio?
Mostra la soluzione
Sì, terzo criterio (LLL) - Due triangoli hanno lati di 5 cm e 8 cm che formano un angolo di 40°. Congruenti? Quale criterio?
Mostra la soluzione
Sì, primo criterio (LAL) - Due triangoli hanno angoli di 50° e 60° adiacenti a un lato di 9 cm. Congruenti? Quale criterio?
Mostra la soluzione
Sì, secondo criterio (ALA) - Due triangoli hanno angoli di 35°, 65° e 80°. Dei lati non si sa nulla. Sono congruenti?
Mostra la soluzione
Non per forza: tre angoli congruenti dimostrano solo che sono simili. - Due triangoli hanno angoli di 40° e 75° e un lato di 6 cm opposto all'angolo di 40°. Congruenti?
Mostra la soluzione
Sì, per il secondo criterio generalizzato: il terzo angolo misura 65° in entrambi. - Due triangoli rettangoli hanno ipotenusa di 10 cm e un cateto di 6 cm. Sono congruenti? Quanto misura l'altro cateto?
Mostra la soluzione
Sì (ipotenusa e cateto). L'altro cateto è √(10² − 6²) = √64 = 8 cm in entrambi. - ABC ≅ PQR, AB = 7 cm e l'angolo in B misura 48°. Trova PQ e l'angolo in Q.
Mostra la soluzione
PQ = 7 cm e l'angolo in Q misura 48° - ABC ≅ XYZ, l'angolo in A misura 52° e quello in B 61°. Trova l'angolo in Z.
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Angolo in C = 180° − 52° − 61° = 67°, e Z corrisponde a C: 67° - KLM ≅ RST, KL = 3x + 1 e RS = 13. Trova x.
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3x + 1 = 13, quindi 3x = 12: x = 4 - ABC ≅ DEF con AB = 5 cm, BC = 6 cm e DF = 4 cm. Trova il perimetro di DEF.
Mostra la soluzione
DE = 5, EF = 6, DF = 4: 15 cm - Due triangoli hanno lati di 7 cm e 5 cm e un angolo di 30° opposto al lato di 5 cm. Devono essere congruenti?
Mostra la soluzione
No: l'angolo non è compreso fra i lati. Ci sono due triangoli diversi con questi dati (l'angolo opposto al lato di 7 cm può misurare circa 44,4° o circa 135,6°). - Nel deltoide ABCD, AB ≅ AD e CB ≅ CD. Quale criterio dimostra che ABC ≅ ADC?
Mostra la soluzione
AB ≅ AD, CB ≅ CD e AC in comune: terzo criterio (LLL) - I segmenti AB e CD si incontrano in M, con AM ≅ MB e CM ≅ MD. Perché AMC ≅ BMD?
Mostra la soluzione
AM ≅ MB, CM ≅ MD e gli angoli in M sono opposti al vertice: primo criterio (LAL) - Nel triangolo ABC, AB ≅ AC e M è il punto medio di BC. Dimostra che gli angoli in B e in C sono congruenti.
Mostra la soluzione
AB ≅ AC, BM ≅ CM e AM in comune, quindi ABM ≅ ACM (terzo criterio). Gli angoli corrispondenti sono congruenti: angolo in B ≅ angolo in C
Problemi
I triangoli congruenti nella vita reale
Prova ogni esercizio, poi controlla la risposta.
- Due capriate di un tetto sono fatte con travi di 3 m, 3 m e 5 m. I triangoli hanno la stessa forma e grandezza?
Mostra la soluzione
Sì, terzo criterio. Tre lati fissati determinano completamente un triangolo: per questo i triangoli rendono rigidi ponti e tetti. - Per misurare la larghezza AB di uno stagno, vai da A a un punto C e prosegui della stessa distanza fino a D; poi vai da B passando per C fino a E, con CE = BC. Misuri DE = 42 m. Quanto è largo lo stagno?
Mostra la soluzione
AC = CD, BC = CE e gli angoli in C sono opposti al vertice, quindi ABC ≅ DEC (primo criterio): AB = DE = 42 m - Due sostegni a forma di triangolo rettangolo sotto una rampa hanno ciascuno ipotenusa di 2,5 m e altezza di 0,7 m. Quanto misura la base di ciascuno? Sono congruenti?
Mostra la soluzione
Base = √(2,5² − 0,7²) = √5,76 = 2,4 m; sono congruenti per il criterio ipotenusa e cateto - Si tagliano due bandierine triangolari con lati di 20 cm e 30 cm che formano un angolo di 40°. Il terzo lato sarà uguale?
Mostra la soluzione
Sì: le bandierine sono congruenti per il primo criterio, quindi tutti gli elementi corrispondenti sono congruenti. - La struttura 1 ha angoli di 50° e 60° agli estremi di una trave di 8 m. La struttura 2 ha angoli di 60° e 70° agli estremi di una trave di 8 m. Sono congruenti?
Mostra la soluzione
Entrambe hanno angoli di 50°, 60° e 70°, ma la trave di 8 m è opposta all'angolo di 70° nella prima e a quello di 50° nella seconda: no
Domande frequenti
Che cosa significa che due triangoli sono congruenti?
Che hanno la stessa forma e la stessa grandezza: si possono sovrapporre e coincidono perfettamente, dopo aver traslato, ruotato o ribaltato uno dei due.
Quali sono i criteri di congruenza?
Primo criterio: due lati e l'angolo compreso (LAL). Secondo criterio: un lato e i due angoli adiacenti (ALA). Terzo criterio: tre lati (LLL). Ne basta uno.
Quando si usa il primo criterio e quando il secondo?
Il primo quando conosci due lati e l'angolo fra di essi; il secondo quando conosci un lato e due angoli. Se hai tre lati, usa il terzo.
Perché tre angoli congruenti non bastano?
Perché triangoli con gli stessi angoli possono avere grandezze diverse. Un triangolo equilatero piccolo e uno grande hanno tre angoli di 60°, ma non sono congruenti: sono solo simili.
Che differenza c'è fra triangoli congruenti e simili?
I triangoli congruenti hanno stessa forma e stessa grandezza; quelli simili hanno la stessa forma, ma la grandezza può cambiare. Due triangoli congruenti sono anche simili, con rapporto 1.
Quiz veloce
Triangoli congruenti
Metti alla prova ciò che sai con 4 domande veloci.
Domanda 1 di 4
Due triangoli hanno due lati ordinatamente congruenti e anche l'angolo compreso fra quei lati è congruente. Quale criterio si applica?
Esercitati
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Triangoli simili
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