Che cosa dicono il teorema dei seni e il teorema del coseno, e quando si usa ciascuno?

Le relazioni con seno, coseno e tangente nel triangolo rettangolo e il teorema di Pitagora funzionano solo nei triangoli rettangoli (vedi trigonometria). Ma i triangoli della vita reale, come la rotta di due navi, la struttura di un tetto o un campo con tre recinzioni, quasi mai hanno un angolo retto. Per questi servono il teorema dei seni e il teorema del coseno, che in Italia si chiama anche teorema di Carnot.

Prima le notazioni, come nei libri italiani: i lati si chiamano a, b, c e gli angoli α, β, γ. Il lato a è opposto all'angolo α, b è opposto a β e c è opposto a γ. Tutte le formule di questa pagina si basano su queste coppie.

Il teorema dei seni afferma che in un triangolo qualunque ogni lato diviso per il seno dell'angolo opposto dà lo stesso numero:

a ÷ sen α = b ÷ sen β = c ÷ sen γ

Questo numero comune è uguale a 2r, il diametro della circonferenza circoscritta. Per trovare un angolo conviene capovolgere: sen α ÷ a = sen β ÷ b = sen γ ÷ c. Si usano solo due dei tre rapporti alla volta, e per cominciare serve una coppia completa (un lato e il suo angolo opposto). Sulla calcolatrice il tasto del seno si chiama "sin".

Il teorema del coseno è il teorema di Pitagora con una correzione per gli angoli diversi da 90°:

a² = b² + c² − 2bc · cos α

Ricavando il coseno per trovare un angolo:

cos α = (b² + c² − a²) ÷ (2bc)

Se α = 90°, cos α = 0 e si ritrova a² = b² + c², il teorema di Pitagora: il teorema del coseno ne è una generalizzazione. Se α è ottuso, cos α è negativo e a risulta più lungo di quanto direbbe Pitagora, ed è logico: un angolo più aperto allontana il lato opposto.

Quale usare?

• Due angoli e un lato, oppure due lati e un angolo non compreso (una coppia completa più un dato) → teorema dei seni.
• Due lati e l'angolo compreso → teorema del coseno per il terzo lato.
• Tre lati → teorema del coseno per un angolo.

Una formula collegata dà l'area senza l'altezza: Area = ½ · a · b · sen γ, con due lati e l'angolo compreso.

Il caso ambiguo. Se conosci due lati e un angolo non compreso tra essi, possono esistere due triangoli. Con a = 6, b = 8 e α = 40°, sen β = 8 · sen 40° ÷ 6 ≈ 0,857, quindi β ≈ 59,0° oppure β ≈ 121,0°. Vanno bene entrambi, perché 40° + 121,0° è ancora meno di 180°.

Il teorema dei seni vale solo per i triangoli rettangoli?#

No, vale per tutti i triangoli, rettangoli compresi. Con un angolo di 90°, sen 90° = 1 e il teorema si riduce alle relazioni del triangolo rettangolo, che lì sono più rapide.

Il teorema del coseno vale per tutti i triangoli?#

Sì. Nel triangolo rettangolo il termine 2bc · cos α vale 0 e si ottiene il teorema di Pitagora; per questo si dice che il teorema del coseno lo generalizza.

Quando usare il teorema dei seni e quando quello del coseno?#

Con una coppia completa (un lato e il suo angolo opposto) usa i seni. Con due lati e l'angolo compreso, oppure con tre lati, usa il coseno.

Che cosa dice il teorema del coseno, a parole?#

Il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due, meno il doppio del loro prodotto per il coseno dell'angolo che formano.

Che cos'è il caso ambiguo?#

Quando si conoscono due lati e un angolo non compreso tra essi, possono esserci due triangoli diversi, perché sen θ = sen(180° − θ). Controlla sempre se anche la soluzione ottusa è valida.

Come si dimostra il teorema dei seni?#

Traccia l'altezza h da C sul lato c. Nei due triangoli rettangoli che si formano, h = b · sen α e h = a · sen β. Quindi b · sen α = a · sen β, cioè a ÷ sen α = b ÷ sen β.