Cos'è un integrale e come si integra una funzione?

La derivata porta da una funzione alla sua velocità di variazione, come passare dallo spazio alla velocità. L'integrale fa il percorso inverso: parte dalla velocità di variazione e ritrova la grandezza di partenza, come passare dalla velocità allo spazio percorso.

Una primitiva di f è una funzione F con F′ = f. Siccome x³ ha derivata 3x², x³ è una primitiva di 3x². Ma lo sono anche x³ + 5 e x³ − 2, perché le costanti spariscono quando si deriva. L'insieme di tutte le primitive è l'integrale indefinito:

∫3x² dx = x³ + c

La S allungata, ∫, si legge «integrale di»; dx indica la variabile; c è la costante di integrazione, un numero qualsiasi.

La regola della potenza per gli integrali rovescia quella delle derivate:

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + c, per ogni n diverso da −1

Cioè: aggiungi 1 all'esponente e dividi per il nuovo esponente. x² diventa x³/3, x⁴ diventa x⁵/5. Una costante moltiplicativa resta (∫5x² dx = 5x³/3 + c), le somme si integrano termine per termine, e una costante da sola guadagna una x: ∫7 dx = 7x + c. Per n = −1 si dividerebbe per 0, quindi c'è un risultato a parte: ∫(1/x) dx = ln|x| + c.

La seconda grande idea è l'area. Dividi la regione sotto la curva in rettangoli sottilissimi e somma le loro aree. Più sono sottili, più la somma si avvicina all'area esatta: è l'integrale definito tra a e b, scritto ∫ₐᵇ f(x) dx. Si calcola così:

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), dove F è una primitiva di f.

È la conseguenza del teorema fondamentale del calcolo integrale (di Torricelli-Barrow). Sottraendo, la c si cancella: un integrale definito è un numero. Verifica su un caso noto: l'area sotto y = 2x tra 0 e 3 è un triangolo di base 3 e altezza 6, quindi di area 9. Con l'integrale: una primitiva di 2x è x², e 3² − 0² = 9. ✓

Gli integrali servono ogni volta che si accumula una grandezza: lo spazio dalla velocità, l'acqua in un serbatoio dalla portata, il lavoro di una forza, il volume di un solido di rotazione.

Verifica sempre derivando il risultato: devi ritrovare la funzione di partenza.

Cos'è l'integrazione in matematica?#

È il calcolo delle primitive (l'inverso della derivata) e degli integrali definiti, che misurano aree sotto le curve. Con l'integrazione salariale, al minimo o del 730 ha in comune solo la parola.

Cos'è l'integrazione per parti?#

Una regola per integrare certi prodotti: ∫f(x)·g′(x) dx = f(x)·g(x) − ∫f′(x)·g(x) dx. Per ∫x·eˣ dx scegli f(x) = x e g′(x) = eˣ: il risultato è x·eˣ − eˣ + c. È la regola del prodotto delle derivate al contrario.

Come funziona l'integrazione per sostituzione?#

Si sostituisce una parte dell'espressione con una nuova variabile. In ∫2x(x² + 1)³ dx poni t = x² + 1, quindi dt = 2x dx, e l'integrale diventa ∫t³ dt = t⁴/4 + c = (x² + 1)⁴/4 + c.

Quali sono gli integrali immediati?#

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + c (n ≠ −1); ∫k dx = kx + c; ∫(1/x) dx = ln|x| + c; ∫eˣ dx = eˣ + c; ∫cos x dx = sen x + c; ∫sen x dx = −cos x + c.

Qual è l'integrale di una costante?#

∫k dx = kx + c. Per esempio ∫5 dx = 5x + c. Nel grafico, l'area sotto la retta orizzontale y = 5 tra 0 e x è un rettangolo di area 5x.

Che differenza c'è tra integrale definito e indefinito?#

L'indefinito è un insieme di funzioni (ha + c); il definito, con estremi a e b, è un numero, F(b) − F(a), che misura l'area con segno sotto la curva.