Cos'è la derivata di una funzione e come si calcola?

Una retta ha la stessa pendenza dappertutto. Una curva no: la parabola y = x² è piatta in basso e diventa sempre più ripida. La derivata è una formula che dà questa pendenza in ogni punto.

La derivata di f si scrive f′(x) («f primo di x») oppure, con la notazione di Leibniz, dy/dx. In un punto x₀, f′(x₀) è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico in quel punto.

Da dove viene? Prendi due punti della curva, di ascissa x e x + h, e calcola la pendenza della secante che li unisce: il rapporto incrementale (f(x + h) − f(x)) / h. Poi fai tendere h a 0: la secante diventa la tangente. Per f(x) = x² il rapporto incrementale vale ((x + h)² − x²) / h = (2xh + h²) / h = 2x + h, che tende a 2x. La derivata è proprio il limite del rapporto incrementale.

Nessuno calcola quel limite ogni volta, perché salta fuori uno schema. È la regola della potenza:

Se f(x) = xⁿ, allora f′(x) = n·xⁿ⁻¹

Cioè: moltiplica per l'esponente e togli 1 all'esponente. x³ diventa 3x², x⁵ diventa 5x⁴. Con altre tre regole derivi qualunque polinomio:

• Una costante moltiplicativa resta: 4x³ diventa 4 · 3x² = 12x².
• Una costante da sola sparisce: 7 diventa 0, perché una retta orizzontale ha pendenza 0.
• Le somme si derivano termine per termine: x² + 5x − 3 diventa 2x + 5.

La regola vale per ogni esponente, anche negativo o frazionario. Prima scrivi radici e frazioni come potenze: √x = x^(1/2) e 1/x = x⁻¹.

A cosa serve? Una derivata è una velocità di variazione, come la velocità di un'auto (quanto in fretta cambia lo spazio percorso nel tempo). Il segno di f′ dice dove f cresce (f′ > 0) e dove decresce (f′ < 0); i punti in cui f′ = 0 sono i punti stazionari, dove si cercano massimi e minimi. Così si risolvono i problemi di ottimizzazione: l'area più grande, la scatola più capiente, il guadagno massimo. Il percorso inverso, dalla derivata alla funzione di partenza, è l'integrale.

Per capire se un punto stazionario è un massimo o un minimo, studia il segno di f′ intorno al punto oppure calcola la derivata seconda f″: se è positiva c'è un minimo, se è negativa un massimo.

Cos'è la derivata di una funzione?#

È il limite del rapporto incrementale per h che tende a 0. In pratica è una nuova funzione che dà, in ogni punto, la pendenza della retta tangente al grafico, cioè la velocità con cui la funzione sta cambiando.

Quali sono le regole di derivazione?#

Potenza: xⁿ diventa n·xⁿ⁻¹. Costante: 0. Somma: termine per termine. Prodotto: (f·g)′ = f′·g + f·g′. Quoziente: (f/g)′ = (f′·g − f·g′)/g². Funzione composta: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x).

Quali sono le derivate fondamentali?#

(eˣ)′ = eˣ, (aˣ)′ = aˣ·ln a, (ln x)′ = 1/x, (sen x)′ = cos x, (cos x)′ = −sen x e (tg x)′ = 1/cos² x, con x in radianti.

Cos'è la derivazione in linguistica?#

In grammatica la derivazione forma parole nuove aggiungendo prefissi o suffissi a una parola base (fiore → fioraio, fare → disfare). In matematica «derivazione» indica invece il calcolo delle derivate, l'argomento di questa pagina.

Che differenza c'è tra derivata e integrale?#

Sono operazioni inverse. La derivata va da una grandezza alla sua velocità di variazione (dallo spazio alla velocità); l'integrale torna dalla velocità di variazione alla grandezza (dalla velocità allo spazio) e calcola aree sotto le curve.

A cosa serve la derivata nella vita reale?#

In fisica velocità e accelerazione sono derivate; in economia il costo marginale è la derivata del costo; in ingegneria le derivate servono a trovare forme e dimensioni ottimali, come la scatola dell'ultimo problema.