Che cos'è un vettore in matematica e come si sommano i vettori?

Alcune grandezze sono chiare con un solo numero: una massa di 5 kg, una temperatura di 18 °C, un tempo di 3 minuti. Sono grandezze scalari. Altre non hanno senso senza una direzione. "Cammina per 3 km" non dice dove arrivi; "cammina per 3 km verso est" sì. Queste sono grandezze vettoriali: spostamento, velocità, accelerazione e forza. Per questo in fisica i vettori sono dappertutto.

Un vettore si disegna come una freccia ed è definito da tre caratteristiche:

• il modulo: la lunghezza della freccia, scritto |v|;
• la direzione: la retta su cui giace la freccia;
• il verso: da quale parte di quella retta punta la freccia.

Il vettore che va dal punto A (la coda) al punto B (la punta) si scrive AB con una freccia sopra. Nel piano cartesiano si descrive con le sue componenti: lo spostamento in orizzontale e quello in verticale. Da A(1; 2) a B(4; 6) ci si sposta di 3 a destra e 4 in alto, quindi il vettore è (3; 4). In questa pagina separiamo le componenti con il punto e virgola, per via della virgola decimale. La regola è sempre punta meno coda: (4 − 1; 6 − 2). È lo stesso tipo di spostamento di una traslazione nelle trasformazioni geometriche.

I calcoli si fanno componente per componente:

• Somma: (3; 4) + (1; −2) = (4; 2). Nel disegno si usa il metodo punta-coda (la coda della seconda freccia sulla punta della prima) oppure la regola del parallelogramma; il vettore somma, il risultante, va dall'inizio della prima alla fine dell'ultima.
• Differenza: (3; 4) − (1; −2) = (2; 6). Sottrarre b vuol dire sommare il vettore opposto −b: stesso modulo e direzione, verso contrario.
• Prodotto per un numero: 2 · (3; 4) = (6; 8). La freccia diventa lunga il doppio e mantiene la direzione. Un numero negativo inverte il verso.
• Modulo: quello di (x; y) è √(x² + y²), grazie al teorema di Pitagora. Il modulo di (3; 4) è √(9 + 16) = 5.

Due vettori sono paralleli se uno è un numero per l'altro: (2; 3) e (6; 9) lo sono, perché (6; 9) = 3 · (2; 3). Tre punti A, B e C sono allineati se AB e BC sono paralleli, dato che hanno in comune il punto B. Due vettori sono perpendicolari (od ortogonali) se il loro prodotto scalare è zero: per (a; b) e (c; d), a · c + b · d = 0.

Un vettore di modulo 1 si chiama versore: si ottiene dividendo un vettore per il suo modulo. Con O nell'origine, il vettore posizione di un punto A è OA. Se OA = a e OB = b, allora AB = b − a, e il punto medio di AB ha vettore posizione ½(a + b). Nello spazio un vettore ha tre componenti, (x; y; z), e il suo modulo è √(x² + y² + z²).

Che cos'è un vettore in fisica?#

Una grandezza che ha bisogno di modulo, direzione e verso: spostamento, velocità, accelerazione, forza, quantità di moto. Sommando le forze come vettori si trova la forza risultante.

Come si sommano due vettori?#

Si sommano le componenti: (2; 5) + (3; −1) = (5; 4). Nel disegno si usa il metodo punta-coda o la regola del parallelogramma.

Quando due vettori sono ortogonali?#

Quando il loro prodotto scalare è zero: si moltiplicano le prime componenti, si moltiplicano le seconde e si sommano. (2; 3) e (3; −2) danno 6 − 6 = 0.

Che cos'è un versore?#

Un vettore di modulo 1, che indica solo direzione e verso. Il versore di (3; 4) è (0,6; 0,8), perché si divide per il modulo 5.

Che cos'è un'immagine vettoriale?#

È un'immagine salvata come punti, linee e curve descritti da numeri, non come una griglia di pixel. Per questo un logo vettoriale si può ingrandire quanto si vuole senza sgranare. "Vettorializzare" un'immagine significa ricavarne una versione di questo tipo.

Che cos'è uno spazio vettoriale?#

È un'idea dell'università (algebra lineare): un insieme di oggetti che si possono sommare e moltiplicare per un numero seguendo le stesse regole dei vettori del piano. I vettori (x; y) ne sono l'esempio più semplice.