Cos'è una matrice in matematica e come si fa il prodotto tra matrici?

Una matrice serve a tenere insieme tanti numeri. La classifica della Serie A o i pixel di una foto sono tabelle di numeri. Sul libro le matrici sono scritte tra grandi parentesi; qui le scriviamo su una sola riga, riga dopo riga, con un punto e virgola tra una riga e l'altra: [1 2 3; 4 5 6] vuol dire che la prima riga è 1 2 3 e la seconda è 4 5 6.

La dimensione (o ordine) di una matrice è righe × colonne. [1 2 3; 4 5 6] ha 2 righe e 3 colonne: è una matrice 2 × 3 («due per tre»). Ogni numero è un elemento. L'elemento della riga i e della colonna j si scrive aᵢⱼ; qui a₂₁ = 4 e a₁₃ = 3.

Alcune matrici hanno un nome:

• Matrice riga: una sola riga, come [3 1 4]. Matrice colonna: una sola colonna, come [2; 5].
• Matrice quadrata: tante righe quante colonne (2 × 2, 3 × 3…).
• Matrice nulla: tutti gli elementi sono 0.
• Matrice identità I: 1 sulla diagonale principale e 0 altrove, come [1 0; 0 1]. Si comporta come il numero 1: AI = IA = A.

Somma e differenza. Si possono sommare solo matrici della stessa dimensione, sommando gli elementi che stanno nello stesso posto: [1 2; 3 4] + [5 0; −1 2] = [6 2; 2 6]. Moltiplicare per un numero moltiplica ogni elemento: 3 · [2 −1; 0 4] = [6 −3; 0 12].

Il prodotto tra matrici è un'altra cosa: si fa righe per colonne. Per ottenere un elemento di AB si prende una riga di A e una colonna di B, si moltiplicano i numeri a due a due e si sommano i risultati. La riga 1 con la colonna 1 dà l'elemento di riga 1 e colonna 1, e così via. Per questo il prodotto esiste solo se il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B. Una 2 × 3 per una 3 × 4 si può fare (i numeri «interni», 3 e 3, coincidono) e il risultato è 2 × 4 (i numeri «esterni»).

L'ordine conta: di solito AB ≠ BA, cioè il prodotto tra matrici non è commutativo. È però associativo: (AB)C = A(BC).

Per una matrice 2 × 2 [a b; c d] il determinante è ad − bc. Se è diverso da zero, la matrice è invertibile e la sua inversa A⁻¹ soddisfa AA⁻¹ = I:

A⁻¹ = (1 / (ad − bc)) · [d −b; −c a]

Si scambiano a e d, si cambia il segno di b e c e si divide per il determinante. L'inversa permette di risolvere un sistema lineare in un colpo solo (in alternativa c'è la regola di Cramer). Le matrici muovono anche le figure: [0 −1; 1 0] ruota ogni punto di 90° in senso antiorario, da qui il legame con le trasformazioni geometriche e i vettori. La grafica al computer e l'intelligenza artificiale fanno enormi quantità di prodotti tra matrici.

Per controllare: molte calcolatrici hanno una modalità matrici e online ci sono calcolatori di prodotto tra matrici; in Python con NumPy si scrive A @ B. Nella verifica, però, devi mostrare il calcolo righe per colonne.

Cos'è una matrice, in parole semplici?#

Una tabella rettangolare di numeri disposti in righe e colonne, scritta tra parentesi. Una matrice 2 × 3 ha 2 righe e 3 colonne.

Come si fa il prodotto tra matrici?#

Righe per colonne: ogni elemento del risultato è una riga della prima matrice per una colonna della seconda, moltiplicando a due a due e sommando. Si può fare solo se le colonne della prima sono tante quante le righe della seconda.

Come si fa il prodotto tra matrici 3 × 3?#

Come per le 2 × 2: ognuno dei 9 elementi è una riga per una colonna, con tre prodotti da sommare. Per esempio la riga [1 0 2] con la colonna [1; 2; 3] dà 1 + 0 + 6 = 7.

Il prodotto tra matrici quadrate è commutativo?#

No. Anche se A e B sono quadrate della stessa dimensione, in generale AB ≠ BA. Ci sono casi particolari in cui coincidono, per esempio quando una delle due è la matrice identità.

Come si risolvono le matrici?#

Di solito si intende risolvere un sistema scritto in forma di matrice: con l'inversa (x = A⁻¹b), con la regola di Cramer oppure con il metodo di Gauss, che riduce la matrice a scala usando i pivot.

Cos'è il calcolo matriciale?#

È l'insieme delle operazioni con le matrici: somma, prodotto per un numero, prodotto righe per colonne, determinante e inversa. È la base dell'algebra lineare.

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