Che cos'è un sistema di equazioni e come si risolve?

Una sola equazione con due incognite, come x + y = 10, ha infinite soluzioni: 1 e 9, 4 e 6, 2,5 e 7,5. Se aggiungi un secondo indizio, x − y = 4, una sola coppia va bene per entrambe: x = 7 e y = 3. Questa è l'idea. Ogni equazione è un indizio, e servono tanti indizi quante sono le incognite.

Sul quaderno il sistema si scrive con una parentesi graffa che raccoglie le equazioni. Il caso più comune è il sistema lineare di primo grado in due incognite. La soluzione è una coppia ordinata, qui (7; 3).

A scuola si imparano questi metodi:

Sostituzione. Ricavi un'incognita da un'equazione e la sostituisci nell'altra. Con y = 3x e x + y = 8: x + 3x = 8, 4x = 8, x = 2 e y = 6.

Confronto. Ricavi la stessa incognita da tutte e due le equazioni e uguagli le espressioni. Con y = 3x − 1 e y = x + 5: 3x − 1 = x + 5, 2x = 6, x = 3 e y = 8.

Riduzione (addizione e sottrazione). Sommi o sottrai le equazioni per far sparire un'incognita. Con 2m + b = 130 e m + b = 80 (prezzi in centesimi), sottrai: m = 50, poi b = 30. La mela costa 0,50 € e la banana 0,30 €. Se i coefficienti non coincidono, prima moltiplichi un'equazione intera.

Metodo grafico. Ogni equazione lineare è una retta. La soluzione è il punto di intersezione. y = x + 1 e y = −x + 5 si incontrano in (2; 3). È molto intuitivo, ma la lettura non sempre è precisa. Più avanti incontrerai anche il metodo di Cramer, che usa i determinanti.

Un sistema può essere determinato (una soluzione: rette incidenti), impossibile (nessuna soluzione: rette parallele) o indeterminato (infinite soluzioni: rette coincidenti). Prima conviene saper risolvere le equazioni di primo grado e usare le coordinate.

Questi sono i passaggi del metodo di riduzione. Con sostituzione e confronto, i passi 2 e 3 diventano "ricava e sostituisci" oppure "ricava e uguaglia".

Che cos'è un sistema di equazioni di primo grado?#

Sono due o più equazioni di primo grado con le stesse incognite, come x + y = 10 e x − y = 4. La soluzione è la coppia di valori che le soddisfa tutte insieme.

Come si risolve un sistema a due incognite?#

Puoi usare sostituzione, confronto o riduzione: tutti portano alla stessa soluzione. Scegli quello più comodo, poi fai sempre la verifica nelle due equazioni.

Quale metodo conviene usare?#

Se un'equazione è già nella forma "y = …", la sostituzione è rapida. Se entrambe sono nella forma ax + by = c, la riduzione evita le frazioni.

Come si risolve un sistema a 3 incognite?#

Servono tre equazioni. Elimini due volte la stessa incognita fino a ottenere un sistema in due incognite, poi risali sostituendo.

Che cosa sono i sistemi di secondo grado?#

Sono sistemi in cui almeno un'equazione ha grado 2 (per esempio contiene x² o xy). Di solito si risolvono per sostituzione e possono avere fino a due soluzioni.

Quando un sistema è impossibile o indeterminato?#

È impossibile quando le rette sono parallele (nessuna soluzione) e indeterminato quando le due equazioni rappresentano la stessa retta (infinite soluzioni).