Che cos’è il reciproco di un numero e come si calcola?

Taglia una pizza in 8 fette uguali. Una fetta è 1/8 della pizza, e 8 fette fanno la pizza intera. Quindi 8 · 1/8 = 1. I numeri 8 e 1/8 sono reciproci l’uno dell’altro.

La regola è breve:

reciproco di x = 1 : x, e x · 1/x = 1 (per ogni numero x diverso da 0)

Il reciproco si chiama anche inverso (più precisamente, inverso moltiplicativo); in inglese si dice reciprocal. Sulla calcolatrice si trova con il tasto x⁻¹ (o 1/x): l’esponente −1 significa “uno fratto”. (Vedi le potenze.)

Il modo di calcolarlo dipende da come è scritto il numero:

• Una frazione: si scambiano numeratore e denominatore. Il reciproco di 2/7 è 7/2.
• Un numero naturale o intero: si scrive con denominatore 1 e si capovolge. 5 = 5/1, quindi il reciproco è 1/5.
• Una frazione unitaria: il reciproco di 1/9 è 9/1 = 9.
• Un numero misto come 2 + 1/2: prima si trasforma in frazione impropria, poi si capovolge. 2 + 1/2 = 5/2, quindi il reciproco è 2/5.
• Un numero decimale: si scrive come frazione, oppure si calcola 1 : il decimale. 0,25 = 1/4, quindi il reciproco è 4.
• Un numero relativo negativo: il segno meno resta. Il reciproco di −3 è −1/3, perché (−3) · (−1/3) = +1.

Due casi speciali: lo 0 non ha reciproco (nessun numero per 0 dà 1, e non si divide per zero), e 1 e −1 sono reciproci di se stessi. Capovolgere due volte riporta al punto di partenza: il reciproco del reciproco di 3/5 è di nuovo 3/5.

I numeri grandi hanno reciproci piccoli, e viceversa. Il reciproco di 100 è 0,01; il reciproco di 0,01 è 100. Un numero tra 0 e 1 ha sempre un reciproco maggiore di 1.

L’uso più comune è nella divisione tra frazioni: dividere per un numero equivale a moltiplicare per il suo reciproco. 3/4 : 2/5 = 3/4 · 5/2 = 15/8. Approfondisci con la divisione tra frazioni.

Con un decimale come 1,25 puoi anche dividere: 1 : 1,25 = 0,8. Oppure con le frazioni: 1,25 = 5/4, e il reciproco è 4/5 = 0,8.

Che cos’è il reciproco di un numero?#

È 1 diviso quel numero. Un numero per il suo reciproco dà sempre 1: il reciproco di 4 è 1/4, quello di 2/3 è 3/2.

Reciproco e inverso sono la stessa cosa?#

Sì, quando si parla di moltiplicazione: “inverso” (o inverso moltiplicativo) e “reciproco” indicano lo stesso numero. Non va confuso con l’opposto, che è l’inverso rispetto all’addizione: l’opposto di 5 è −5.

Qual è il reciproco di un numero relativo negativo?#

È negativo anche lui. Il reciproco di −5 è −1/5, perché meno per meno fa più: (−5) · (−1/5) = 1. Ogni numero relativo diverso da 0 ha un reciproco.

Qual è il reciproco di un numero naturale?#

Si scrive con denominatore 1 e si capovolge: il reciproco di 12 è 1/12. A parte l’1, il reciproco di un naturale non è un naturale, e lo 0 non ha reciproco.

Che cos’è l’antireciproco?#

È l’opposto del reciproco: si capovolge il numero e si cambia il segno. L’antireciproco di 3 è −1/3. Serve in geometria analitica: due rette sono perpendicolari quando i loro coefficienti angolari sono uno l’antireciproco dell’altro.

Come si calcola il reciproco di un numero complesso?#

Ogni numero complesso diverso da 0 ha un reciproco. Per a + bi è (a − bi) : (a² + b²), per esempio 1/(3 + 4i) = (3 − 4i)/25. In forma trigonometrica, il reciproco di r(cos θ + i sin θ) è (1/r)(cos θ − i sin θ).