Cosa sono i radicali in matematica e come si semplificano?

Alcune radici quadrate sono esatte: √9 = 3 e √25 = 5. La maggior parte no. √2 = 1,41421356… e le cifre continuano all'infinito senza ripetersi: √2 è un numero irrazionale. Quando scriviamo questo numero con il simbolo di radice invece di arrotondarlo, lavoriamo con i radicali. In ∛5 il simbolo √ è il segno di radice, il numero sotto (5) è il radicando e il numero piccolo (3) è l'indice. Se l'indice non è scritto vale 2: è una radice quadrata.

In inglese queste radici non esatte si chiamano surds (nel Regno Unito) o radicals (negli Stati Uniti). Le regole sono le stesse ovunque.

Perché non usare la calcolatrice? Perché un numero decimale è solo un'approssimazione, mentre il radicale è esatto. Se un quadrato ha il lato di 1 m, il teorema di Pitagora dice che la diagonale misura √(1² + 1²) = √2 m. Scrivere 1,41 m è quasi giusto; scrivere √2 m è esattamente giusto, e resta tale fino alla fine del calcolo. I radicali compaiono di continuo in geometria e in trigonometria: sen 60° vale esattamente √3/2.

La proprietà fondamentale è che la radice si distribuisce su prodotti e quozienti (con a e b non negativi):

√(a · b) = √a · √b e √(a : b) = √a : √b

Per semplificare un radicale si porta fuori dal segno di radice il quadrato più grande che divide il radicando. √50 = √(25 · 2) = √25 · √2 = 5√2. Se non vedi il quadrato, aiuta la scomposizione in fattori primi: 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 2³ · 3², e ogni coppia di fattori uguali esce come un solo fattore, quindi √72 = 2 · 3 · √2 = 6√2.

Si possono sommare e sottrarre solo i radicali simili, che hanno lo stesso indice e lo stesso radicando, come si sommano 3x + 5x ma non 3x + 5y. Quindi 3√2 + 5√2 = 8√2, ma √2 + √3 resta così. Spesso bisogna prima semplificare per accorgersi che sono simili: √18 + √8 = 3√2 + 2√2 = 5√2.

Infine, di solito si toglie la radice dal denominatore. È la razionalizzazione: si moltiplicano numeratore e denominatore per il radicale, perché √a · √a = a. Per 6/√3 moltiplica per √3/√3 e ottieni 6√3/3 = 2√3.

I radicali sono anche potenze con esponente frazionario: √a = a^½ e ∛a = a^⅓. Per questo le proprietà delle potenze valgono anche per i radicali.

Con un denominatore come 3 − √2, moltiplica sopra e sotto per il coniugato 3 + √2. Sotto ottieni (3 − √2)(3 + √2) = 9 − 2 = 7, senza più radici.

Cosa sono i radicali in matematica?#

Sono espressioni con una radice, come √2, ∛5 o 3√7. Servono soprattutto quando la radice non è esatta, perché permettono di scrivere un numero irrazionale in modo esatto, senza arrotondare.

Come si semplificano i radicali?#

Scomponi il radicando e porta fuori dal segno di radice i fattori che formano un quadrato (o un cubo, se l'indice è 3): √50 = √(25 · 2) = 5√2. Il radicale è semplificato quando sotto non resta alcun fattore quadrato.

Cos'è l'indice nei radicali?#

È il numero piccolo sul segno di radice: dice quale radice si calcola. In ∛8 l'indice è 3, e ∛8 = 2 perché 2³ = 8. Nella radice quadrata l'indice 2 di solito non si scrive.

Come si sommano e si moltiplicano i radicali?#

Si sommano solo i radicali simili: 2√3 + 5√3 = 7√3. Per moltiplicare radicali con lo stesso indice si moltiplicano i coefficienti tra loro e i radicandi tra loro: 2√3 · 4√2 = 8√6.

Come si scrivono i radicali come potenze?#

L'indice va al denominatore dell'esponente: √a = a^½, ∛a = a^⅓ e ∛(a²) = a^⅔. Così si possono usare le proprietà delle potenze, per esempio √a · √a = a^½ · a^½ = a.

Cosa sono i radicali doppi?#

Sono radicali che contengono un altro radicale, come √(3 + 2√2). A volte si semplificano riconoscendo un quadrato: (1 + √2)² = 3 + 2√2, quindi √(3 + 2√2) = 1 + √2.

C'entrano qualcosa con i radicali liberi o con il partito?#

No. I «radicali liberi» sono molecole studiate in chimica e biologia, e i Radicali sono un movimento politico. In matematica «radicale» viene dal latino radix, «radice».