Che cos'è l'interesse composto e in che cosa è diverso dall'interesse semplice?

Quando metti dei soldi su un conto di risparmio, la banca ti paga un interesse: una percentuale della somma, di solito ogni anno. Quando chiedi un prestito, invece, l'interesse lo paghi tu. Ci sono due modi per calcolarlo.

L'interesse semplice si calcola sempre sulla somma iniziale, il capitale (C). Con un tasso annuo r (scritto in decimale) per t anni:

Interesse semplice: I = C · r · t e il montante è M = C + I

(Con il tasso in percentuale la formula diventa I = C · r · t : 100.) Depositi 1.000 € al 5 % di interesse semplice: guadagni 50 € ogni anno. In 3 anni guadagni 150 € e hai 1.150 €.

Nell'interesse composto gli interessi vengono aggiunti al conto, e quelli dell'anno dopo si calcolano sul nuovo totale, più grande. Così ogni anno guadagni interessi anche sugli interessi. Ogni anno il capitale viene moltiplicato per lo stesso numero, il fattore 1 + r. Al 5 % è 1,05:

Interesse composto: M = C · (1 + r)ⁿ dove n è il numero di anni. Gli interessi maturati sono M − C.

1.000 € al 5 % di interesse composto: dopo un anno 1.000 · 1,05 = 1.050 €; dopo due anni 1.050 · 1,05 = 1.102,50 €; dopo tre anni 1.157,63 €. Sono 7,63 € in più rispetto all'interesse semplice. All'inizio la differenza sembra piccola, ma continua ad aumentare, perché la potenza in (1 + r)ⁿ fa accelerare la crescita: i montanti formano una progressione geometrica (vedi successioni). In 10 anni l'interesse semplice dà 1.500 €, quello composto 1.628,89 €.

La stessa idea vale per ciò che perde valore, il deprezzamento. Un telefono che perde il 25 % del suo valore ogni anno ne conserva il 75 %, quindi il suo valore viene moltiplicato per 0,75 ogni anno: V = C · (1 − r)ⁿ.

A volte gli interessi vengono aggiunti più volte all'anno, per esempio ogni mese. Allora si divide il tasso annuo per il numero di periodi (k) e si moltiplica il numero di anni per k: M = C · (1 + r/k)ᵏⁿ. I conti e i prestiti veri hanno anche regole e costi propri, ma la matematica di fondo è esattamente questa.

Che cos'è l'interesse composto e come funziona?#

È l'interesse sugli interessi. Ogni anno gli interessi si aggiungono al capitale, e l'anno dopo si calcolano su questo totale più grande: così la somma cresce sempre più in fretta.

Qual è la formula dell'interesse composto?#

M = C · (1 + r)ⁿ, con C il capitale iniziale, r il tasso annuo in decimale e n il numero di anni. L'interesse è M − C. Se gli interessi si aggiungono k volte all'anno, M = C · (1 + r/k)ᵏⁿ.

Qual è la formula dell'interesse semplice?#

I = C · r · t: capitale per tasso (in decimale) per tempo in anni. Con il tasso in percentuale si scrive I = C · r · t : 100. 500 € al 4 % per 3 anni danno 60 €.

Interesse semplice o composto: che differenza c'è?#

L'interesse semplice si calcola sempre sul capitale iniziale e aggiunge ogni anno la stessa somma; quello composto si calcola sul totale che cresce e aggiunge ogni anno un po' di più. A parità di tasso e per più di un anno, il composto produce sempre di più.

Come si calcola l'interesse composto annuo con un esempio?#

Moltiplica il capitale per il fattore tante volte quanti sono gli anni. 2.000 € al 3 % per 5 anni: 2.000 · 1,03⁵ ≈ 2.318,55 €, cioè 318,55 € di interessi. Con la calcolatrice si usa il tasto della potenza (xʸ o ^).

Come si ricava il capitale o il tasso (formule inverse)?#

Capitale: C = M : (1 + r)ⁿ. Tasso: 1 + r = radice n-esima di M : C. Se 400 € diventano 484 € in 2 anni, 484 : 400 = 1,21 = 1,1², quindi r = 10 %.

Quanto tempo ci vuole perché una somma raddoppi?#

Una stima veloce è la «regola del 72»: si divide 72 per il tasso percentuale. All'8 % sono circa 72 : 8 = 9 anni. Il valore esatto è un po' di più: 1.000 € diventano 1.999 € in 9 anni.