Matematica
Che cos'è la proporzionalità diretta e come si calcola?
Risposta veloce
Due grandezze sono direttamente proporzionali se, quando una raddoppia, raddoppia anche l'altra. La legge è y = k · x, dove k è la costante di proporzionalità.
In una frase
Due grandezze sono direttamente proporzionali quando cambiano allo stesso ritmo: se una raddoppia, raddoppia anche l'altra; se una si dimezza, si dimezza anche l'altra.
Spiegazione
Un biglietto del cinema costa 4 €. 1 biglietto costa 4 €, 2 biglietti costano 8 €, 5 biglietti costano 20 € e 0 biglietti non costano nulla. Qualunque sia il numero di biglietti, il prezzo diviso il numero di biglietti dà sempre 4. Questa è la proporzionalità diretta: il prezzo è direttamente proporzionale al numero di biglietti.
mela
cestino
macchina
Il numero che resta sempre uguale si chiama costante di proporzionalità e si indica con k. In un problema di spesa è il prezzo di un singolo oggetto. La legge è
y = k · x, cioè k = y : x
Per capire se due grandezze sono direttamente proporzionali ci sono tre prove, che in fondo dicono la stessa cosa:
- La prova del rapporto: in una tabella, y : x dà sempre lo stesso numero.
- La prova del grafico: in un grafico sul piano cartesiano, i punti stanno su una retta che passa per l'origine (0; 0). La pendenza di questa retta è k.
- La prova dello zero: quando una grandezza vale 0, vale 0 anche l'altra; e se moltiplichi una per un numero, l'altra viene moltiplicata per lo stesso numero.
Non tutte le rette indicano proporzionalità diretta. Un taxi che chiede 9 € per 2 km e 17 € per 6 km ha una quota fissa di 5 € più 2 € al chilometro. Il grafico è una retta, ma parte da 5 €, non da 0, e 9 : 2 non è uguale a 17 : 6. Raddoppiando i chilometri, il prezzo non raddoppia.
Il contrario è la proporzionalità inversa: quando una grandezza raddoppia, l'altra si dimezza. Se 4 imbianchini impiegano 6 ore per dipingere una staccionata, 8 imbianchini che lavorano allo stesso ritmo impiegano 3 ore. Qui resta costante il prodotto (4 · 6 = 8 · 3 = 24), e la legge è y = k : x.
La proporzionalità diretta è ovunque: nel rapporto tra gli ingredienti di una ricetta, nei cambi di valuta, nelle scale delle carte geografiche, nella distanza percorsa a velocità costante e nelle percentuali (il 10% di un prezzo è sempre il prezzo × 0,1).
Esempi
| Situazione | x | y | k | Legge |
|---|---|---|---|---|
| Biglietti a 4 € | biglietti | prezzo (€) | 4 | y = 4x |
| Auto a 60 km/h costanti | ore | km | 60 | s = 60t |
| 50 g di farina a persona | persone | grammi | 50 | f = 50p |
| Paga di 12 € l'ora | ore | paga (€) | 12 | P = 12h |
| Perimetro del quadrato | lato | perimetro | 4 | 2p = 4l |
Esempio svolto (riduzione all'unità): 5 quaderni costano 7,50 €. Quanto costano 8 quaderni? Prima trova il prezzo di uno: 7,50 : 5 = 1,50 €. Poi moltiplica: 8 × 1,50 = 12 €.
Esempio svolto (con k): y è direttamente proporzionale a x, e y = 12 quando x = 3. Allora k = 12 : 3 = 4, quindi y = 4x. Per x = 10, y = 4 · 10 = 40. Per y = 30, x = 30 : 4 = 7,5.
Errori comuni
- Sommare invece di moltiplicare. Se 2 pizze richiedono 3 uova, 4 pizze non ne richiedono 5. Hai raddoppiato le pizze, quindi raddoppia le uova: 6. Come rimediare: chiediti «per quanto ho moltiplicato?».
- Pensare che ogni retta sia proporzionalità diretta. Come rimediare: deve anche passare per l'origine. Una quota fissa rompe la proporzionalità.
- Confondere diretta e inversa. Più operai significa meno tempo, quindi è inversa. Come rimediare: chiediti se la seconda grandezza aumenta o diminuisce.
- Dividere al contrario per trovare k. Come rimediare: k = y : x. Verifica rimettendo k in y = kx.
Passo dopo passo
Passo dopo passo
- Controlla che sia direttaA 0 corrisponde 0? Se raddoppi una grandezza, raddoppia anche l'altra?
- Trova k (o il valore dell'unità)Dividi un valore di y per il suo x: k = y : x.
- Scrivi la leggeY = kx con il tuo valore di k.
- Usa la leggePer trovare y, moltiplica il nuovo x per k. Per trovare x, dividi y per k.
- Controlla il sensoUna x più grande deve dare una y più grande.
Puoi anche scrivere una proporzione e usare la proprietà fondamentale: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Se 3 mele costano 6 €, per 5 mele scrivi 3 : 6 = 5 : x, quindi 3 · x = 6 · 5 = 30 e x = 10 €.
Esercizi
Proporzionalità diretta
Prova ogni esercizio, poi controlla la risposta.
- Una penna costa 2 €. Quanto costano 7 penne?
Mostra la soluzione
7 × 2 = 14 € - 4 mele costano 2 €. Quanto costa una mela?
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2 : 4 = 0,50 € - 3 kg di patate costano 4,50 €. Quanto costano 5 kg?
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1 kg costa 4,50 : 3 = 1,50 €, quindi 5 kg costano 5 × 1,50 = 7,50 € - Un'auto percorre 90 km con 6 litri di benzina. Quanti km percorre con 10 litri?
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90 : 6 = 15 km al litro, quindi 10 × 15 = 150 km - x = 2, 4, 6 e y = 10, 20, 30. È proporzionalità diretta?
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10 : 2 = 20 : 4 = 30 : 6 = 5, quindi sì: y = 5x - x = 1, 2, 3 e y = 3, 5, 7. È proporzionalità diretta?
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3 : 1 = 3 ma 5 : 2 = 2,5, quindi no - y è direttamente proporzionale a x, e y = 20 quando x = 4. Trova k.
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k = 20 : 4 = 5 - y = 3x. Trova y quando x = 12.
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3 × 12 = 36 - y è direttamente proporzionale a x, e y = 18 quando x = 6. Trova y quando x = 10.
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k = 18 : 6 = 3, quindi y = 3 × 10 = 30 - y è direttamente proporzionale a x, e y = 14 quando x = 4. Trova x quando y = 35.
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k = 14 : 4 = 3,5, quindi x = 35 : 3,5 = 10 - In una tabella di proporzionalità diretta, a x = 3 corrisponde y = 12. Trova y quando x = 5, e x quando y = 36.
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k = 4, quindi y = 20 e x = 9 - La legge y = 2x + 3 è di proporzionalità diretta?
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No. Per x = 0, y = 3: la retta non passa per l'origine. - Una retta passa per (0; 0) e (4; 10). Scrivi la sua legge.
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k = 10 : 4 = 2,5, quindi y = 2,5x - Risolvi la proporzione 3 : 7 = x : 21.
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21 è 7 × 3, quindi x = 3 × 3 = 9 - Quale è proporzionalità diretta: (a) il numero di operai e il tempo per costruire un muro, (b) il numero di mattoni uguali e il loro peso totale?
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(b). La (a) è proporzionalità inversa.
Problemi
Proporzionalità diretta nella vita reale
Prova ogni esercizio, poi controlla la risposta.
- Per le crêpes per 4 persone servono 200 g di farina. Quanta farina serve per 10 persone?
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200 : 4 = 50 g a persona, quindi 10 × 50 = 500 g - Giulia guadagna 12 € l'ora. Quanto guadagna in 7,5 ore?
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12 × 7,5 = 90 € - Su una carta, 2 cm corrispondono a 5 km. A quale distanza reale corrispondono 7 cm?
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5 : 2 = 2,5 km per cm, quindi 7 × 2,5 = 17,5 km - Una stampante stampa 45 pagine in 3 minuti. Quanto tempo impiega per 120 pagine?
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45 : 3 = 15 pagine al minuto, quindi 120 : 15 = 8 minuti - 5 libri uguali pesano 3 kg. Quanto pesano 12 di questi libri?
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3 : 5 = 0,6 kg ciascuno, quindi 12 × 0,6 = 7,2 kg - 3 m di nastro costano 4,80 €. Quanto costano 5 m?
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4,80 : 3 = 1,60 € al metro, quindi 5 × 1,60 = 8 €
Domande frequenti
Come si riconosce la proporzionalità diretta?
Dividi ogni y per la sua x: se ottieni sempre lo stesso numero, la proporzionalità è diretta. Sul piano cartesiano i punti stanno su una retta che passa per l'origine.
Cos'è k nella proporzionalità diretta?
k è la costante (o coefficiente) di proporzionalità: il numero per cui si moltiplica x per ottenere y. Si trova con k = y : x e, sul grafico, è la pendenza della retta.
Come si trovano x e y nella proporzionalità diretta?
Prima trova k con una coppia di valori conosciuta. Poi y = k · x per trovare y, e x = y : k per trovare x. Con y = 12 per x = 3 (k = 4): per x = 5, y = 20; per y = 36, x = 9.
Qual è la differenza tra proporzionalità diretta e inversa?
Nella diretta le grandezze crescono insieme e il rapporto y : x è costante (y = kx); il grafico è una retta per l'origine. Nell'inversa una cresce mentre l'altra cala e il prodotto x · y è costante (y = k : x); il grafico è un ramo di iperbole.
Cos'è la proporzionalità diretta in fisica?
Molte leggi fisiche sono di proporzionalità diretta. Per esempio, entro certi limiti l'allungamento di una molla è direttamente proporzionale alla forza che la tira (legge di Hooke), e a velocità costante lo spazio percorso è proporzionale al tempo.
Cos'è la proporzionalità quadratica?
Si ha quando y è proporzionale al quadrato di x: y = k · x². Se x raddoppia, y diventa quattro volte più grande. Per esempio l'area di un quadrato è proporzionale al quadrato del lato.
Quiz veloce
Proporzionalità diretta
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Domanda 1 di 5
3 penne costano 6 €. Allo stesso prezzo, quanto costano 5 penne?
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