الرياضيات
ما هي نظرية فيثاغورس؟
إجابة سريعة
تنص نظرية فيثاغورس على أن في المثلث القائم الزاوية a² + b² = c²، حيث c أطول ضلع (الوتر). فإذا كان الضلعان 3 و4 كان الوتر 5.
في جملة واحدة
تربط نظرية فيثاغورس بين أضلاع المثلث القائم الزاوية الثلاثة: مجموع مربعي الضلعين الأقصرين يساوي مربع الضلع الأطول.
الشرح
لكل مثلث قائم الزاوية ضلع مميز واحد هو الوتر. إنه الضلع المقابل للزاوية القائمة، وهو دائمًا الأطول. سمِّ الضلعين الأقصرين a وb، والوتر c. عندئذ:
a² + b² = c²
بيت
مسطرة
أشهر مثال مثلث أضلاعه 3 و4 و5. تحقق: 3² + 4² = 9 + 16 = 25، و5² = 25. ✓
ويمكنك تخيّل ذلك بالمربعات. ارسم مربعًا على كل ضلع من المثلث. تساوي مساحة المربع الكبير المرسوم على الوتر مجموع مساحتي المربعين الأصغر: 9 + 16 = 25.
إيجاد الوتر. ربّع الضلعين الأقصرين، واجمع، ثم خذ الجذر التربيعي. منحدر يرتفع 5 م على مسافة أفقية 12 م. طوله √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 م.
إيجاد ضلع أقصر. ربّع الضلعين المعلومين، واطرح، ثم خذ الجذر التربيعي. سلّم طوله 10 م يصل إلى ارتفاع 8 م على الجدار. كم يبعد أسفله عن الجدار؟ √(10² − 8²) = √(100 − 64) = √36 = 6 م.
التحقق من وجود زاوية قائمة. إذا تحققت a² + b² = c² في ثلاثة أضلاع، فالمثلث قائم الزاوية. وقد استعمل البنّاؤون قاعدة 3-4-5 بالحبال وأشرطة القياس لرسم زوايا قائمة.
سُميت النظرية على اسم فيثاغورس، المفكر اليوناني الذي عاش قبل نحو 2500 سنة، لكن ألواحًا طينية أقدم من بابل القديمة تبين أن الناس عرفوا هذه المثلثات الخاصة قبله بأكثر من 1000 سنة.
أمثلة
| a | b | c (الوتر) |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 1 | 1 | √2 ≈ 1.41 |
| 7 | 24 | 25 |
مجموعات الأعداد الصحيحة مثل 3 و4 و5 تسمى ثلاثيات فيثاغورس. اضرب إحداها في أي عدد تحصل على غيرها: 6 و8 و10.
أخطاء شائعة
- الجمع حيث يجب الطرح. إذا عرفت الوتر فاطرح لتجد ضلعًا أقصر.
- نسيان الجذر التربيعي في النهاية، فتحصل على 169 بدل 13.
- استعمالها في مثلث ليس فيه زاوية قائمة. إنها تصح في المثلثات القائمة الزاوية فقط.
- تربيع المجموع: (3 + 4)² = 49 وهو ليس 3² + 4² = 25.
اختبار سريع
نظرية فيثاغورس
اختبر معلوماتك بـ 4 أسئلة سريعة.
السؤال 1 من 4
ضلعا مثلث قائم الزاوية الأقصران 6 سم و8 سم. كم طول الوتر؟
تدرّب
جرّب بنفسك
تدريب على الهندسة وفيثاغورس
للكبار
مواضيع ذات صلة
الأعداد المربعة
العدد المربع هو ناتج ضرب عدد صحيح في نفسه، مثل 4 × 4 = 16. وأوائل الأعداد المربعة 1 و4 و9 و16 و25 و36.
الجذور التربيعية
الجذر التربيعي لعدد هو القيمة التي إذا ضُربت في نفسها أعطت ذلك العدد. فالجذر التربيعي للعدد 25 هو 5 لأن 5 × 5 = 25. ورمزه √.
الزوايا
الزاوية تقيس مقدار الدوران بين خطين يلتقيان في نقطة. وتُقاس الزوايا بالدرجات (°)؛ الزاوية القائمة 90° والدورة الكاملة 360°.
المساحة
المساحة هي مقدار السطح المستوي داخل شكل، وتُقاس بوحدات مربعة مثل سم² أو م². مستطيل 4 سم في 3 سم مساحته 4 × 3 = 12 سم².
العدد π (باي أو ط)
العدد π هو ناتج قسمة محيط أي دائرة على قطرها. وهو يساوي نحو 3.14، وأرقامه لا تنتهي ولا تتكرر.
الإحداثيات
الإحداثيات زوج من الأعداد يحدد موقعًا بدقة على شبكة، مثل (3, 5). العدد الأول هو البعد الأفقي (x) والثاني هو البعد الرأسي (y).