数学
什么是勾股定理（毕达哥拉斯定理）？
简短回答
勾股定理说：在直角三角形中，a² + b² = c²，其中 c 是最长的边（斜边）。两条直角边是 3 和 4 时，斜边是 5。
一句话说明
勾股定理把直角三角形的三条边联系起来：两条短边的平方加起来，等于最长边的平方。
详细讲解
每个直角三角形都有一条特别的边，叫斜边。它是直角所对的边，也总是最长的。把两条较短的边（直角边）叫作 a 和 b，斜边叫作 c。那么：
a² + b² = c²
房子
尺子
最有名的例子是边长为 3、4、5 的三角形。检验一下：3² + 4² = 9 + 16 = 25，5² = 25。✓
可以用正方形来想象。在三角形的每条边上画一个正方形。斜边上那个大正方形的面积，等于两个小正方形的面积之和：9 + 16 = 25。
求斜边。 把两条直角边平方，相加，再取平方根。 一条斜坡在水平方向前进 12 米，升高 5 米。它的长度是 √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 米。
求直角边。 把已知的两条边平方，相减，再取平方根。 一架 10 米长的梯子靠在墙上，顶端离地 8 米。梯脚离墙多远？√(10² − 8²) = √(100 − 64) = √36 = 6 米。
判断是不是直角。 如果三条边满足 a² + b² = c²，这个三角形就有一个直角。建筑工人用绳子和卷尺，按 3-4-5 的规则来定出方正的墙角。
在中国，这个定理叫“勾股定理”：较短的直角边古人叫“勾”，较长的直角边叫“股”，斜边叫“弦”。中国古代的数学著作《周髀算经》里，就有“勾三股四弦五”的记载。在西方，它以大约 2500 年前的希腊思想家毕达哥拉斯命名；不过更古老的古巴比伦泥板显示，人们在他之前 1000 多年就知道这些特殊的三角形了。
例子
| a | b | c（斜边） |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 1 | 1 | √2 ≈ 1.41 |
| 7 | 24 | 25 |
像 3、4、5 这样的整数组，叫作勾股数（毕达哥拉斯三元数）。把它乘以任何数，就得到另一组：6、8、10。
常见错误
- 该减的时候加了。 如果已知斜边，要用减法来求直角边。
- 最后忘了开平方，得到 169 而不是 13。
- 用在没有直角的三角形上。 它只对直角三角形成立。
- 把和平方：(3 + 4)² = 49，不等于 3² + 4² = 25。
小测验
勾股定理（毕达哥拉斯定理）
用 4 道小题检验一下你学会了多少。
第 1 题，共 4 题
一个直角三角形的两条直角边是 6 厘米和 8 厘米。斜边有多长？
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几何和勾股定理练习
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