Come si calcola il volume del cono e della sfera?

Il volume è lo spazio occupato da un solido e si misura in unità cubiche come i cm³ o i m³ (vedi il volume). Per il cilindro è semplice: area di base per altezza, cioè πr²h. Cono e sfera sono un po' più difficili, ma ognuno ha una formula breve.

Volume del cono: V = ⅓πr²h

Qui r è il raggio del cerchio di base e h è l'altezza, cioè la distanza in verticale dal vertice al centro della base. La formula dice: calcola l'area del cerchio di base, πr², moltiplicala per l'altezza e dividi per 3. Perché un terzo? Se riempi d'acqua un cono e la versi in un cilindro con la stessa base e la stessa altezza, servono esattamente tre coni per riempirlo. Per la piramide vale lo stesso: V = (area di base × altezza) : 3.

Volume della sfera: V = ⁴⁄₃πr³

Qui r è il raggio, la distanza dal centro alla superficie. Il matematico greco Archimede scoprì che la sfera occupa esattamente i due terzi del cilindro che la contiene (raggio r, altezza 2r). Quel cilindro ha volume πr² · 2r = 2πr³, e i due terzi di 2πr³ sono ⁴⁄₃πr³. La semisfera ne ha la metà: ⅔πr³.

C'è un legame bellissimo fra i tre solidi. Prendi un cono, una sfera e un cilindro, tutti con raggio r e altezza 2r. I loro volumi sono ⅔πr³, ⁴⁄₃πr³ e 2πr³: stanno nel rapporto 1 : 2 : 3.

Due attenzioni. Entrambe le formule usano il raggio: se ti danno il diametro, dividilo prima per 2. E poiché nella sfera il raggio è al cubo, una piccola variazione di r cambia molto il volume: se il raggio raddoppia, il volume diventa 2³ = 8 volte più grande. Puoi lasciare il risultato «in funzione di π» (36π cm³), che è esatto, oppure usare la calcolatrice e arrotondare (113,1 cm³).

Formule inverse: per ricavare il raggio di una sfera dal volume, isola r³ = 3V : (4π) ed estrai la radice cubica. Per il cono, h = 3V : (πr²).

Qual è la formula del volume del cono?#

V = ⅓πr²h, cioè (area di base × altezza) : 3, dove r è il raggio di base e h l'altezza. È un terzo del volume del cilindro con la stessa base e la stessa altezza.

Come si calcola il volume del cono con l'apotema?#

Prima si trova l'altezza con Pitagora: h = √(a² − r²), dove a è l'apotema. Poi si usa V = ⅓πr²h. Con r = 5 cm e a = 13 cm si ha h = 12 cm e V = 100π ≈ 314,2 cm³.

Come si calcola il volume della sfera avendo il diametro?#

Si divide il diametro per 2 per avere il raggio e si usa V = ⁴⁄₃πr³. Oppure si usa direttamente il diametro: V = πd³ : 6. Una sfera con diametro 6 cm ha volume 36π ≈ 113,1 cm³.

Come si ricava il raggio dal volume della sfera?#

È la formula inversa: r = ∛(3V : 4π). Se V = 36π cm³, allora r³ = 3 · 36 : 4 = 27 e r = 3 cm.

Come si arriva alla formula del volume della sfera?#

Archimede dimostrò che la sfera occupa due terzi del cilindro che la contiene: ⅔ · 2πr³ = ⁴⁄₃πr³. Oggi si dimostra anche con il principio di Cavalieri o, alle superiori, con gli integrali.

Come si calcola il volume del tronco di cono?#

Si calcola il volume del cono intero e si sottrae quello del piccolo cono tagliato via. Esiste anche la formula V = ⅓πh(R² + Rr + r²), con R e r i raggi delle due basi e h l'altezza del tronco.

Che differenza c'è tra il volume del cono e quello della piramide?#

Nessuna nel metodo: entrambi sono un terzo di area di base per altezza. Nel cono la base è un cerchio (πr²), nella piramide un poligono.